（本小题满分 13 分）在直角坐标系 x O y 中，已知…——2012 高考数学第 21 题答案解析

【解析】（1）由 $x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 得 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$ ，故圆 $C$ 的圆心为点 $(2,0)$ ，从而可设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，其焦距为 $2 c$ ．由题设知 $c=2, e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ．所以 $a=2 c=4, b^{2}=a^{2}-c^{2}=12$ ．故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ．
（II）设点的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right), l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $l_{1}, l_{2}$ 的方程分别为 $l_{1}: y-y_{0}=k_{1}\left(x-x_{0}\right), l_{2}: y-y_{0}=k_{2}\left(x-x_{0}\right)$ ，且 $k_{1} k_{2}=\frac{1}{2}$ ，由 $l_{1}$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+y^{2}=2$相切得 $\frac{\left|2 k_{1}+y_{0}-k_{1} x_{0}\right|}{\sqrt{k_{1}^{2}+1}}=\sqrt{2}$

即 $\left[\left(2-x_{0}\right)^{2}-2\right] k_{1}^{2}+2\left(2-x_{0}\right) y_{0} k_{1}+y_{0}^{2}-2=0$ ，
同理可得 $\left[\left(2-x_{0}\right)^{2}-2\right] k_{2}{ }^{2}+2\left(2-x_{0}\right) y_{0} k_{2}+y_{0}{ }^{2}-2=0$

从而 $k_{1}, k_{2}$ 是方程 $\left[\left(2-x_{0}\right)^{2}-2\right] k^{2}+2\left(2-x_{0}\right) y_{0} k+y_{0}{ }^{2}-2=0$ 的两个实根。于是
$\left\{\begin{array}{l}\left(2-x_{0}\right)^{2}-2 \neq 0 \\ \Delta=8\left[\left(2-x_{0}\right)^{2}+y_{0}{ }^{2}-2>0\right.\end{array}\right.$

且 $k_{1} k_{2}=\frac{y_{0}{ }^{2}-2}{\left(2-x_{0}\right)^{2}-2}=\frac{1}{2}$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{0}{ }^{2}}{16}+\frac{y_{0}{ }^{2}}{12}=1 \\ \frac{y_{0}{ }^{2}-2}{\left(2-x_{0}\right)^{2}-2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 得 $5 x_{0}{ }^{2}-8 x_{0}-36=0$ ，解得 $x_{0}=-2$ 或 $x_{0}=\frac{18}{5}$ ，
由 $x_{0}=-2$ 得 $y_{0}= \pm 3$ ；由 $x_{0}=\frac{18}{5}$ 得 $y_{0}= \pm \frac{\sqrt{57}}{5}$ ；它们均满足①式，
故点 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$ ，或 $(-2,-3)$ ，或 $\left(\frac{18}{5}, \frac{\sqrt{57}}{5}\right)$ ，或 $\left(\frac{18}{5},-\frac{\sqrt{57}}{5}\right)$ ．

## 【考点定位】椭圆的方程与直线与圆锥曲线的位置关系．