（本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力。满分 14 分。
（ I ）解：设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，由题设得

$\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}=9, \\ \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2} .\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}=4, \\ b^{2}=5 .\end{array}\right.$
所以双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ ．
（II）解：设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+m(k \neq 0)$ ，点 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的坐标满足方程组
$\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1 .\end{array}\right.$

将①式代入②式，得 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{(k x+m)^{2}}{5}=1$ ，整理得
$\left(5-4 k^{2}\right) x^{2}-8 k m x-4 m^{2}-20=0$.
此方程有两个不等实根，于是 $5-4 k^{2} \neq 0$ ，且
$\Delta=(-8 k m)^{2}+4\left(5-4 k^{2}\right)\left(4 m^{2}+20\right)>0$ 。整理得
$m^{2}+5-4 k^{2}>0$.

由根与系数的关系可知线段 $M N$ 的中点坐标 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 满足
$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{4 k m}{5-4 k^{2}}, ~ y_{0}=k x_{0}+m=\frac{5 m}{5-4 k^{2}}$.
从而线段 $M N$ 的垂直平分线的方程为
$y-\frac{5 m}{5-4 k^{2}}=-\frac{1}{k}\left(x-\frac{4 k m}{5-4 k^{2}}\right)$ ．
此直线与 $x$ 轴，$y$ 轴的交点坐标分别为 $\left(\frac{9 k m}{5-4 k^{2}}, 0\right),\left(0, \frac{9 m}{5-4 k^{2}}\right)$ 。由题设可得
$\frac{1}{2}\left|\frac{9 k m}{5-4 k^{2}}\right| \cdot\left|\frac{9 m}{5-4 k^{2}}\right|=\frac{81}{2}$.
整理得
$m^{2}=\frac{\left(5-4 k^{2}\right)^{2}}{|k|}, \quad k \neq 0$ ．

将上式代入③式得 $\frac{\left(5-4 k^{2}\right)^{2}}{|k|}+5-4 k^{2}>0$ ，
整理得
$\left(4 k^{2}-5\right)\left(4 k^{2}-|k|-5\right)>0, \quad k \neq 0$.
解得 $0<|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $|k|>\frac{5}{4}$ ．
所以 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right) \cup\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cup\left(\frac{5}{4},+\infty\right)$ ．