（本小题共 12 分） 椭圆有两顶点 A (-1,0)、…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
解：①因椭圆焦点在 $y$ 轴上，
设椭圆的标准方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，
由已知得 $b=1, c=1$ ，所以 $a=\sqrt{2}$ ，椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$ ．
直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时与题意不符。
设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+1$ ，将其代入椭圆方程化简得
$\left(k^{2}+2\right) x^{2}+2 k x-1=0$.
设 $C\left(x_{1}, y_{1}\right), D\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k}{k^{2}+2}, x_{1} \cdot x_{2}=-\frac{1}{k^{2}+2}$ ，
$|C D|=\sqrt{k^{2}+1} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\frac{2 \sqrt{2}\left(k^{2}+1\right)}{k^{2}+2}$,
由已知得 $\frac{2 \sqrt{2}\left(k^{2}+1\right)}{k^{2}+2}=\frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，解得 $k= \pm \sqrt{2}$ ．

所以直线 $l$ 的方程为 $y=\sqrt{2} x+1$ 或 $y=-\sqrt{2} x+1$ ．
②证明：直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时与题意不符。
设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+1(k \neq 0$ 且 $k \neq \pm 1)$ ，
所以 $P$ 点坐标为 $\left(-\frac{1}{k}, 0\right)$ ．
设 $C\left(x_{1}, y_{1}\right), D\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由①知 $x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k}{k^{2}+2}, x_{1} \cdot x_{2}=-\frac{1}{k^{2}+2}$ ．
直线 $A C$ 的方程为 $y=\frac{y_{1}}{x_{1}+1}(x+1)$ ，直线 $B D$ 的方程为
$y=\frac{y_{2}}{x_{2}-1}(x-1)$,
将两直线方程联立，消去 $y$ 得 $\frac{x+1}{x-1}=\frac{y_{2}\left(x_{1}+1\right)}{y_{1}\left(x_{2}-1\right)}$ ．
因为 $-1$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}=\frac{y_{2}{ }^{2}\left(x_{1}+1\right)^{2}}{y_{1}{ }^{2}\left(x_{2}-1\right)^{2}}=\frac{2-x_{2}{ }^{2}}{2-x_{1}{ }^{2}} \cdot \frac{\left(x_{1}+1\right)^{2}}{\left(x_{2}-1\right)^{2}}=\frac{\left(1+x_{1}\right)\left(1+x_{2}\right)}{\left(1-x_{1}\right)\left(1-x_{2}\right)}=\frac{1+\frac{-2 k}{k^{2}+2}+\frac{-1}{k^{2}+2}}{1-\frac{-2 k}{k^{2}+2}+\frac{-1}{k^{2}+2}}=\left(\frac{k-1}{k+1}\right)^{2}$
又 $y_{1} y_{2}=k^{2} x_{1} x_{2}+k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=\frac{2(1-k)(1+k)}{k^{2}+2}=-\frac{2(1+k)^{2}}{k^{2}+2} \cdot \frac{k-1}{k+1}$ ，
$\therefore \frac{k-1}{k+1}$ 与 $y_{1} y_{2}$ 异号，$\frac{x+1}{x-1}$ 与 $\frac{k-1}{k+1}$ 同号，
$\frac{x+1}{x-1}=\frac{k-1}{k+1}$ ，解得 $x=-k$ ．
因此 $Q$ 点坐标为 $\left(-k, y_{0}\right)$ ．
$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=\left(-\frac{1}{k}, 0\right) \cdot\left(-k, y_{0}\right)=1$ ．
故 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 为定值．