2014_退役省自主命题 (2014·文)
21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．
## 题（21）图
【答案】（I）$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$；（II）存在满足条件的圆，其方程为 $x^{2}+\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{9}$．
## 【解析】
试题分析：（I）由题设知 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ 其中 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$
由 $\frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2} \Rightarrow\left|D F_{1}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2} c$，结合条件 $\Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，可求 $c$ 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得 $a, b$ 的值，从而确定椭圆的标准方程；
（II）假设存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点；设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点为 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 由圆的对称性可知 $x_{1}=-x_{2}, y_{1}=y_{2}$，利用 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在圆上及 $\overrightarrow{P_{1} F_{1}} \cdot \overrightarrow{P_{2} F_{2}}=0$ 确定交点的坐标，进而得到圆的方程．
试题解析：
解：（ I ）设 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$，其中 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$，
由 $\frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}$ 得 $\left|D F_{1}\right|=\frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} c$
从而 $S_{\triangle D F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2}\left|D F_{1}\right| \cdot\left|F_{1} F_{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2} c^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $c=1$．
从而 $\left|D F_{1}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由 $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}$ 得 $\left|D F_{2}\right|^{2}=\left|D F_{1}\right|^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}=\frac{9}{2}$，因此 $\left|D F_{2}\right|=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$．
所以 $2 a=\left|D F_{1}\right|+\left|D F_{2}\right|=2 \sqrt{2}$，故 $a=\sqrt{2}, b^{2}=a^{2}-c^{2}=1$
因此，所求椭圆的标准方程为：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
答（21）图
（II）如答（21）图，设圆心在 $y$ 轴上的圆 $C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 相交，$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是两个交点， $y_{1}>0, y_{2}>0, F_{1} P_{1}, F_{2} P_{2}$ 是圆 $C$ 的切线，且 $F_{1} P_{1} \perp F_{2} P_{2}$ 由圆和椭圆的对称性，易知 $x_{2}=-x_{1}, y_{1}=y_{2} \left|P_{1} P_{2}\right|=2\left|x_{1}\right|$,
由（I）知 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$，所以 $\overrightarrow{F_{1} P_{1}}=\left(x_{1}+1, y_{1}\right), \overrightarrow{F_{2} P_{2}}=\left(-x_{1}-1, y_{1}\right)$，再由 $F_{1} P_{1} \perp F_{2} P_{2}$ 得 $-\left(x_{1}+1\right)^{2}+y_{1}^{2}=0$，由椭圆方程得 $1-\frac{x_{1}^{2}}{2}=\left(x_{1}+1\right)^{2}$，即 $3 x_{1}^{2}+4 x_{1}=0$，解得 $x_{1}=-\frac{4}{3}$ 或 $x_{1}=0$。
当 $x_{1}=0$ 时，$P_{1}, P_{2}$ 重合，此时题设要求的圆不存在。
当 $x_{1}=-\frac{4}{3}$ 时，过 $P_{1}, P_{2}$ 分别与 $F_{1} P_{1}, F_{2} P_{2}$ 垂直的直线的交点即为圆心 $C$，设 $C\left(0, y_{0}\right)$
由 $C P_{1} \perp F_{1} P_{1}$，得 $\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}} \cdot \frac{y_{1}}{x_{1}+1}=-1$，而 $y_{1}=\left|x_{1}+1\right|=\frac{1}{3}$，故 $y_{0}=\frac{5}{3}$
圆 $C$ 的半径 $\left|C P_{1}\right|=\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{2}}{3}$
综上，存在满足条件的圆，其方程为：$x^{2}+\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{9}$
考点：1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量数量积的应用．