函数的周期性　·　历年高考数学真题与解析

8．已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y), f(1)=1$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=()$

3．函数 $y=\tan 2 x$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$

9．（5 分）函数 $f(x)=\sin ^{2} 2 x$ 的最小正周期是 $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{2}$ ．

6．（5分）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\tan \mathrm{x}}{1+\tan ^{2} \mathrm{x}}$ 的最小正周期为（ ）

9．函数 $f(x)$ 满足 $f(x+4)=f(x)(x \in \mathbf{R})$ ，且在区间 $(-2,2]$ 上，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos \frac{\pi x}{2}, 0<x \leq 2, \\ \left|x+\frac{1}{2}\right|,-2<x \leq 0,\end{array}\right.$则 $f(f(15))$ 的值为
$\_\_\_\_$
A ．

3．（ 5 分）函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期为

5．（5分）（2016•浙江）设函数 f（x）=sin²x+bsinx+c，则 f（x）的最小正周期（　　）

11．（5分）（2016•江苏）设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1)$ 上， $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+a,-1 \leqslant x<0 \\ \left|\frac{2}{5}-x\right|, 0 \leqslant x<1\end{array}\right.$ ，其中 $a \in R$, 若 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=f\left(\frac{9}{2}\right)$ ，则 $f(5 a)$ 的值是

18．设 $f(x), g(x), h(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的三个函数．对于命题：①若 $f(x)+g(x)$、 $f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是增函数，则 $f(x), g(x), h(x)$ 均是增函数；②若 $f(x)+g(x), f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x), g(x)$、 $h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是。

5．（5 分）（2016•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin ^{2} \mathrm{x}+\mathrm{b} \sin \mathrm{x}+\mathrm{c}$ ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期（ ）
A．与 b 有关，且与 c 有关 B 。 与 b 有关，但与 c 无关
C．与 b 无关，且与 c 无关 D．与 b 无关，但与 c 有关

9．（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ．当 $x<0$ 时，$f(x)=x^{3}-1$ ；当 $-1 \leq x \leq 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$ ；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ．则 $f(6)=$

1．函数 $f(x)=1-3 \sin ^{2} x$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ ．

12．设 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 $x \in[-1,1)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-4 x^{2}+2, & -1 \leq x<0, \\ x, & 0 \leq x<1,\end{array}\right.$ ，则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

13．设 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 $x \in[-1,1)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-4 x^{2}+2, & -1 \leq x<0, \\ x, & 0 \leq x<1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．函数 $f(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期是

7．（5分）在函数（1）$y=\cos |2 x|$ ，②$y=|\cos x|$ ，③$y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ，④$y=\tan$（ $\left.2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 中，最小正周期为 $\pi$ 的所有函数为（ ）

13．（5分）设 $f(x)$ 是以 2 为周期的函数，且当 $x \in[1,3)$ 时，$f(x)=x-2$ ，则 $f(-1)=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

8．$x$ 为实数，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $f(x)=x-[x]$ 在 $\mathbf{R}$ 上为

10．设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1]$ 上，

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+1,-1 \leqslant x<0, \\ \frac{b x+2}{x+1}, 0 \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 其中 $a, b \in \mathbf{R}$ ．若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，
（第9题）
则 $a+3 b$ 的值为

（13）在极坐标系中，圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的圆心到直线 $\theta=\frac{\pi}{6}(\rho \in R)$ 的距离是 $\_\_\_\_$。

（8）定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+6)=f(x)$ ．当 $-3 \leq x<-1$ 时，$f(x)=-(x+2)^{2}$ ，当 $-1 \leq x<3$ 时，$f(x)=x$ 。则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots f(2012)=$

10．（3分）（2011 •山东）已知 $f(x)$ 是 $R$ 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 $0 \leq x<2$ 时，$f (x)=x^{3}-x$ ，则函数 $y=f(x)$ 的图象在区间 $[0,6]$ 上与 $x$ 轴的交点的个数为
A 6
B 7
C 8
D 9

14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动．设顶点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ）的轨迹方程是 $y=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ 4
； $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 $\_\_\_\_$ $\pi+1$ ．

1．（5分）（2008•江苏）若函数 最小正周期为 ，则ω=　_________　．

11．（5 分）（ $2008 \bullet$ 四川）设定义在 R 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \bullet \mathrm{f}(\mathrm{x}+2)=13$ ，若 $\mathrm{f}(1) =2$ ，则 $f(99)=$