Maximum and Minimum of a Function　·　历年高考数学真题与解析

6． 已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{\mathrm{e}^{x}+a}$ 的最大值为 1 ，则 $a=$

14．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x<a, \\ (x-2)^{2}, & x \geq a .\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 存在最小值，则 $a$ 的一个取值为＿$a$的最大值为 $\_\_\_\_$。

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值；
（2）若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ．
（1）写出 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

15．函数 $f(x)=|2 x-1|-2 \ln x$ 的最小值为

20．设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．

23．已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集；
（2）若 $f(x)>-a$ ，求 $a$ 的取值范围．

7．函数 $f(x)=\cos x-\cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值

23．已知函数 $f(x)=\left|x-a^{2}\right|+|x-2 a+1|$ ．
（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x) \ldots 4$ 的解集；
（2）若 $f(x) \ldots 4$ ，求 $a$ 的取值范围．

13．下列函数中，值域为 $[0,+\infty)$ 的是（）

15．函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{2}\right)-3 \cos x$ 的最小值为

23．设函数 $f(x)=|2 x+1|+|x-1|$ ．
（1）画出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象；
（2）当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$f(x) \leq a x+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

14．（5分）函数 $f(x)=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \cos x-\frac{3}{4}\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ 1 ．

15．（6 分）已知向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是
$\_\_\_\_$ ，最大值是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{5}$ ．

17．（4 分）已知 $a \in R$ ，函数 $f(x)=\left|x+\frac{4}{x}-a\right|+a$ 在区间 $[1,4]$ 上的最大值是 5 ，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x-1-a \ln x$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；
②设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n, ~\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)<m$ ，求 m 的最小值。

6．（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值为（ ）

10．（5 分）函数 $f(x)=\frac{x}{x-1}(x \geqslant 2)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ．

11．（5分）函数 $f(x)=\cos 2 x+6 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ 的最大值为（ ）

14．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}-3 x, x \leqslant a \\ -2 x, x>a\end{array}\right.$ ．
（1）若 $a=0$ ，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ；
（2）若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty,-1$ ）。

15．（13分）在 $\triangle A B C$ 中，$a^{2}+c^{2}=b^{2}+\sqrt{2} a c$ 。
（I）求 $\angle \mathrm{B}$ 的大小；
（II）求 $\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \mathrm{C}$ 的最大值．

6．（5 分）（2016•浙江）已知函数 $f(x)=x^{2}+b x$ ，则＂$b<0$＂是＂$f(f(x))$ 的最小值与 $f$ （x）的最小值相等＂的

10、设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=2^{x-2}+\frac{x}{2}, x \in[0,2]$ 的反函数，则 $y=f(x)+f^{-1}(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

14．若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+6, x \leq 2, \\ 3+\log _{a} x, x>2,\end{array} \quad(a>0\right.$ 且 $a \neq 1)$ 的值域是 $[4,+\infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

17．$a$ 为实数，函数 $f(x)=\left|x^{2}-a x\right|$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值记为 $g(a)$ ．当 $a=$ $\_\_\_\_$时，$g(a)$ 的值最小．

23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x \mathrm{O} y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）．以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，$\odot \mathrm{C}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ．
（I）写出 $\odot \mathrm{C}$ 的直角坐标方程；
（II） P 为直线 $l$ 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．

8．已知点 $A, B, C$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动，且 $A B \perp B C$，若点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$的最大值为

11．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

12．函数 $f(x)=\log _{2} \sqrt{x} \cdot \log _{\sqrt{2}}(2 x)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）函数 $y=\cos 2 x+2 \sin x$ 的最大值是－$\frac{3}{2}$
$\_\_\_\_$ ．

14．（5分）函数 $f(x)=\sin (x+\phi)-2 \sin \phi \cos x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

16．若不等式 $|2 x-1|+|x+2| \geq a^{2}+\frac{1}{2} a+2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

6．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $t \in[-2,2]$ ，则输出的 $S$ 属于（ ）

（9）【2014年上海，文 9 ，5分】设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x+a, x, 0 \\ x+\frac{1}{x}, x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的最小值，则 $a$的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

10．已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$，则

12．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是

12．（5分）已知函数 $f(x)=\cos x \sin 2 x$ ，下列结论中不正确的是（）

（12）已知函数 $f(x)=x^{2}-2(a+2) x+a^{2}, g(x)=-x^{2}+2(a-2) x-a^{2}+8$．设 $H_{1}(x)=\max \{f(x), g(x)\}, H_{2}(x)=\min \{f(x), g(x)\},(\max \{p, q\})$ 表示 $p, q$ 中的较大值， $\min \{p, q\}$ 表示 $p, q$ 中的较小值，记 $H_{1}(x)$ 得最小值为 $A, H_{2}(x)$ 得最小值为 $B$，则 $A-B=$

15．设 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 为平面 $\alpha$ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha$ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的一个＂中位点＂．例如，线段 $A B$ 上的任意点都是端点 $A, B$的中位点．则有下列命题：
①若 $A, B, C$ 三个点共线，$C$ 在线段上，则 $C$ 是 $A, B, C$ 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 $A, B, C, D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
其中的真命题是 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

16．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10}=0, S_{15}=25$ ，则 $n S_{n}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －49 ．

7．（5分）执行程序框图，如果输入的 $\mathrm{t} \in[-1,3]$ ，则输出的 s 属于（ ）

9．（5分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+\frac{1}{x}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是

17．（本小题满分 12 分）

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 。已知 $A=\frac{\pi}{4}$ ，
$b \sin \left(\frac{\pi}{4}+C\right)-c \sin \left(\frac{\pi}{4}+B\right)=a$
（1）求证：$B-C=\frac{\pi}{2}$（2）若 $\mathrm{a}=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积。

20．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\frac{1-\mathrm{a}}{2} \mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=1$ 时，设函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)$ ，最小值为 $m(t)$ 。记 $g(t)=M(t)-m(t)$ ，求函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值．

2012年天津市高考数学试卷（文科）

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过坐标原点的一条直线与函数 $f(x)=\frac{2}{x}$ 的图象交于 $P , Q$ 两点，则线段 $P Q$ 长的最小值是 $\_\_\_\_$ A ．

8．（5分）（2011•湖南）设直线 $\mathrm{x}=\mathrm{t}$
与函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图象分别交于点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，则当 $|\mathrm{MN}|$ 达到最小时 t 的值为（ ）

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

21．（12分）求函数 $f(x)=x^{3}-3 x$ 在 $[-3,3]$ 上的最值．

3．$(1-x)^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

（12）用 $\min \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 三个数中的最小值。设

$$ f(x)=\min \left\{2^{x}, x+2,10-x\right\} $$

$(\mathrm{x} \geq 0)$ ，则 $f(x)$ 的最大值为

12．设函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x+c}(a<0)$ 的定义域为 $D$ ，若所有点 $(s, f(t))(s, t \in D)$ 构成一个正方形区域，则 $a$ 的值为

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．

10．设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ），对于给定的 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是（）

15．设 $[x]$ 表示不超过 x 的最大整数，$\left(\right.$ 如 $\left.[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1\right)$ 。对于给定的 $n \in N^{+}$，
定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ；

当 $x \in[2,3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是 $\_\_\_\_$。

三．

（15）已知 $t$ 为常数，函数 $y=\left|x^{2}-2 x-t\right|$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值为 2 ，则 $\mathrm{t}=$ $\_\_\_\_$。

21．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(1-\mathrm{x})^{\mathrm{n}}}+\mathrm{aln}(\mathrm{x}-1)$ ，其中 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，a为常数．
（I）当 $\mathrm{n}=2$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明：对任意的正整数 n ，当 $\mathrm{x} \geq 2$ 时，有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{x}-1$ 。

（3）函数 $y=1+\sqrt{x} \quad(0 \leq x \leq 4)$ 的反函数是