函数的奇偶性　·　历年高考数学真题与解析

5.下列函数中,既是奇函数,又在其定义域内单调递增的是

10． 已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=\left(x^{2}-3\right) e^{x}+2$ ，则

3. 已知函数 $y = f ( x )$ 的图象如下，则f(x)的解析式可能为 （）

3．已知函数 $y=f(x)$ 的图象如下，则 $f(x)$ 的解析式可能为

4．下列函数是偶函数的是

6．设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ，当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=$（ ）

7．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

8．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

11．已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x y)=y^{2} f(x)+x^{2} f(y)$ ，则（ ）．

13．若 $y=(x-1)^{2}+a x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若 $f(x)=(x-1)^{2}+a x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

4．若 $f(x)=(x+a) \ln \frac{2 x-1}{2 x+1}$ 为偶函数，则 $a=~(\quad)$ 。

4．已知 $f(x)=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{a x}-1}$ 是偶函数，则 $a=$

4．函数 $f(x)$ 的图象如下图所示，则 $f(x)$ 的解析式可能为（ ）

5．已知 $f(x)=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{a x}-1}$ 是偶函数，则 $a=$

16．若 $f(x)=\ln \left|a+\frac{1}{1-x}\right|+b$ 是奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

4．已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+2^{x}}$ ，则对任意实数 $x$ ，有（）

7．函数 $y=\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 的图象大致为

8．已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y), f(1)=1$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=()$

8．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[-3,3]$ 的大致图像，则该函数是（ ）

13．已知函数 $f(x)=x^{3}\left(a \cdot 2^{x}-2^{-x}\right)$ 是偶函数，则 $a=$

3．函数 $y=\frac{\ln |x|}{x^{2}+2}$ 的图像大致为

7．已知函数 $f(x)=x^{2}+\frac{1}{4}, g(x)=\sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（ ）

9．设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

10．设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ ，则 $f(x)$

12．已知函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ ，则

16．关于函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①$f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称．
②$f(x)$ 的图像关于原点对称．
③$f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称．
④$f(x)$ 的最小值为 2 ．
其中所有真命题的序号是

4．函数 $y=x \cos x+\sin x$ 在区间 $[-\pi,+\pi]$ 的图象大致为（）

6．若函数 $y=a \cdot 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$

7．已知 $y=f(x)$ 是奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ ，则 $f(-8)$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

13．（5 分）设函数 $f(x)=e^{x}+a e^{-x}$（ $a$ 为常数）．若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －1 ；若 $f$ （ $x$ ）是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，0］ ．

14．已知 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x<0$ 时，$f(x)=-\mathrm{e}^{a x}$ ．若 $f(\ln 2)=8$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

5．函数 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^{2}}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致为

5．函数 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^{2}}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致为

6．（5 分）设函数 $f(x)=\cos x+b \sin x$（ $b$ 为常数），则＂$b=0$＂是＂$f(x)$ 为偶函数＂的（ ）

6．设 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=e^{x}-1$ ，则当 $x<0$ 时，$f(x)=$

13．下列函数中，为偶函数的是

16．（5分）已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, f(a)=4$ ，则 $f(-a)=-2$

3．（5分）函数 $f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}}$ 的图象大致为

3．（5分）函数 $f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}}$ 的图象大致为

14．（5分）已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$f(x$ ）$=2 x^{3}+x^{2}$ ，则 $f(2)=$ $\_\_\_\_$ 12 ．

18．设 $a \in R$ ，函数 $f(x)=\frac{2^{x}+a}{2^{x}+1}$ ；
（1）求 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 为奇函数；
（2）若 $f(x)<\frac{a+2}{2}$ 对任意 $x \in R$ 成立，求 $a$ 的取值范围；

8．（5分）函数 $y=\frac{\sin 2 x}{1-\cos x}$ 的部分图象大致为

12．（5分）设函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}}$ ，则使得 $f(x)>f(2 x-1)$ 成立的x的取值范围是（）

13．（5分）若函数 $f(x)=x \ln \left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)$ 为偶函数，则 $a=1$ ．

2．下列函数为奇函数的是（

（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

3．下列函数为奇函数的是（

3．（5分）（2015 •广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

3．（5 分）下列函数中为偶函数的是

10．已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\cos \pi x, x \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \\ 2 x-1, x \in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\end{array}\right.$，则不等式 $f(x-1) \leq \frac{1}{2}$ 的解集为

12．（5分）奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f(x+2)$ 为偶函数，且 $f(1)=1$ ，则 $f(8)+f(9)=(\quad)$

15．若 $f(x)=\ln \left(e^{3 x}+1\right)+a x$ 是偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

16．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (2 x+\theta)$ 为奇函数，且 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$，其中 $a \in R, \theta \in(0, \pi)$．
（1）求 $a, \theta$ 的值；
（2）若 $f\left(\frac{\alpha}{4}\right)=-\frac{2}{5}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，求 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值．

3．已知 $f(x), g(x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f(x)-g(x)=x^{3}+x^{2}+1$ ，则 $f(1)+g(1)=($

3．（5分）设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$ ，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论正确的是（）

4．下列函数为偶函数的是

5．（5分）设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$ ，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论正确的是

14．已知 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=x^{2}-4 x$，那么，不等式 $f(x+2)<5$的解集是 $\_\_\_\_$。

2．（5分）（2013 • 广东）定义域为 R 的四个函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}, \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1, \mathrm{y}=2 \sin \mathrm{x}$ 中，奇函数的个数是
A 4
B 3
C 2
D 1

3、已知函数 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}$ ，则 $f(-1)=$

3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是

4．已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数， $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 是偶函数，且 $\mathrm{f}(-1)+\mathrm{g}(1)=2, \mathrm{f}(1)+\mathrm{g}(-1)=4$，则 $\mathrm{g}(1)$等于

5．函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$ 的图像大致是

A

B

C

D

（7）已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+9 x^{2}}-3 x\right)+1$，则 $f(\lg 2)+f\left(\lg \frac{1}{2}\right)=$

（12）函数 $f(x)=(x+a)(x-4)$ 为偶函数，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$

16．（5分）设函数 $f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M+m =$ $\_\_\_\_$ 2。

11、（2011 • 浙江）若函数 $f(x)=x^{2}-|x+a|$ 为偶函数，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ 0 ．

3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数 B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

2．若集合 $A=\{x \| x \mid \leq 1\}, B=\{x \mid x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B=$

10．（5分）（2009•陕西）定义在 R 上的偶函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足：对任意的 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in[0,+\infty) ~( x_{1} \neq x_{2}$ ），有 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}<0$ ．则

12．（5分）（2009•陕西）定义在 R 上的偶函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足：对任意的 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(-\infty, 0$ ］ $\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ ，有 $\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)>0$ ．则当 $n \in N^{*}$ 时，有（）

3．（5分）函数 $y=\log _{2} \frac{2-x}{2+x}$ 的图象（ ）

（4）已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x \in R)$ ，下面结论错误的是

3．（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图象关于

3．（5 分）（2008 • 山东）函数 $\mathrm{y}=\ln \cos \mathrm{x} ~\left(-\frac{\pi}{2}<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象是

4．（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图象关于