对数函数　·　历年高考数学真题与解析

13．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

15．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

7．记水的质量为 $d=\frac{S-1}{\ln n}$ ，并且 $d$ 越大，水质量越好。若 $S$ 不变，且 $d_{1}=2.1, d_{2}=2.2$ ，则 $n_{1}$ 与 $n_{2}$ 的关系为（ ）

8．设函数 $f(x)=(x+a) \ln (x+b)$ ，若 $f(x) \geq 0$ ，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 ()

10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_{p}=20 \times \lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0}\left(p_{0}>0\right)$ 是听觉下限间值，$p$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，则（ ）。

12．已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$ ，则（ ）

6．化简 $\left(2 \log _{4} 3+\log _{8} 3\right)\left(\log _{3} 2+\log _{9} 2\right)$ 的值为（）

5．设 $a=\log _{2} 0.3, b=\log _{\frac{1}{2}} 0.4, c=0.4^{0.3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

6.

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$ 。已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9 ，则其视力的小数记录法的数据为 $(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$

7．若 $2^{a}=5^{b}=10$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=()$

12．已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$ ．设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$ ，则

12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1,2, \cdots, n$ ，且 $P(X=i)=p_{i}>0(i=1,2, \cdots, n), ~ \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H(X)=-\sum_{i=1}^{n} p_{i} \log _{2} p_{i}$ 。（ ）
A 若 $n=1$ ，则 $H(X)=0$

B．若 $n=2$ ，则 $H(X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大
C．若 $p_{i}=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$ ，则 $H(X)$ 随着 $n$ 的增大而增大

D．若 $n=2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为 $1,2, \cdots, m$ ，且 $P(Y=j)=p_{j}+p_{2 m+1-j}(j=1,2, \cdots, m)$ ，则 $H(X) \leq H(Y)$

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为 $(\ln 19 \approx 3)$

8．设 $a \log _{3} 4=2$ ，则 $4^{-a}=~()$

14．已知 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x<0$ 时，$f(x)=-\mathrm{e}^{a x}$ ．若 $f(\ln 2)=8$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

16．平面直角坐标系中，两动圆 $O_{1} , O_{2}$ 的圆心分别为 $\left(a_{1}, 0\right) ,\left(a_{2}, 0\right)$ ，且两圆均过定点 $(1,0)$ ，
两圆与 $y$ 轴正半轴分别交于点 $\left(0, y_{1}\right) ,\left(0, y_{2}\right)$ ，若 $\ln y_{1}+\ln y_{2}=0$ ，点 $\left(\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}\right)$ 的轨迹为 $\Gamma$ ，
则 $\Gamma$ 所在的曲线可能是（）

6．在同一直角坐标系中，函数 $y=\frac{1}{a^{x}}, y=\log _{a}\left(x+\frac{1}{2}\right)(a>0$ 且 $a \neq 0)$ 的图象可能是（ ）

6．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

7．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

12．（5分）设 $a=\log _{0.2} 0.3, b=\log _{2} 0.3$ ，则

(5)已知 $2log e=a$， $ln 2b=$， $121log3c=$，则a，b，c的大小关系为

12．（6 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\log _{\mathrm{b}} \mathrm{a}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}^{\mathrm{b}}=\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ，
$\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（ ） （参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ）

8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ）

12．（6 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\log _{\mathrm{b}} \mathrm{a}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}^{\mathrm{b}}=\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（5分）若 $a>b>0, ~ 0<c<1$ ，则（ ）

1．设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}, N=\{x \mid \lg x \leq 0\}$ ，则 $M \bigcup N=$

10．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2, x \leqslant 1 \\ -\log _{2}(x+1), x>1\end{array}\right.$ ，且 $f(a)=-3$ ，则 $f$（ $6-a )=(\quad)$

12、 $\lg 0.01+\log _{2} 16=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+6, x \leq 2, \\ 3+\log _{a} x, x>2,\end{array} \quad(a>0\right.$ 且 $a \neq 1)$ 的值域是 $[4,+\infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

4．＂$x>1$＂是＂ $\log _{\frac{1}{2}}(x+2)<0$＂的

5．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\log _{2}(2-x), & x<1 \\ 2^{x-1}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(-2)+f\left(\log _{2} 12\right)=$（

7．（5 分）如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f(x) \geqslant \log _{2}(x+1)$

的解集是

7．在区间 $[0,2]$ 上随机地取一个数 $x$ ，则事件＂$-1 \leq \log _{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right) \leq 1$＂发生的概率为（ ）

12．函数 $f(x)=\log _{2} \sqrt{x} \cdot \log _{\sqrt{2}}(2 x)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}, b=\log _{2} \frac{1}{3}, c=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

4．若函数 $y=\log _{a} x(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是

A

B

C

D

7．已知 $b>0, \log _{5} b=a, \lg b=c, 5^{d}=10$ ，则下列等式一定成立的是（）

9．已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x), x \in(-1,1)$．现有下列命题：
①$f(-x)=-f(x)$；②$f\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right)=2 f(x)$；③$|f(x)| \geq 2|x|$。其中的所有正确命题的序号是

11、 $\lg \sqrt{5}+\lg \sqrt{20}$ 的值是 $\_\_\_\_$。

3．设 $a, b, c$ 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是

6．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图像与函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+4$ 的图像的交点个数为

8．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 2, c=\log _{2} 3$ ，则（

8．（5分）设 $a=\log _{3} 6, b=\log _{5} 10, c=\log _{7} 14$ ，则（ ）

12．（5 分）已知函数 $f(x)=\lg x$ ，若 $f(a b)=1$ ，则 $f\left(a^{2}\right)+f\left(b^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

（3）$\left(\log _{2} 9\right) \cdot\left(\log _{3} 4\right)=(\quad)$

（7）已知 $a=\log _{2} 3+\log _{2} \sqrt{3}, b=\log _{2} 9-\log _{2} \sqrt{3}, c=\log _{3} 2$ 则 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 的大小关系是

12．已知 $\log _{2} a+\log _{2} b \geq 1$ ，则 $3^{a}+9^{b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

10．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\ln 2, c=5^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

2．下列命题中的假命题是

8．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\ln 2, c=5^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

（8）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}\log _{2} x, x>0, \\ \log _{\frac{1}{2}}(-x), x<0\end{array}\right.$ ，若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})>\mathrm{f}(-\mathrm{a})$ ，则实数 a 的取值范围是

2．函数 $y=2^{x+1}$（$x\in\mathbb{R}$）的反函数是

10．由直线 $x=\frac{1}{2}, x=2$ ，曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及 $x$ 轴所围图形的面积为

13．函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x+1, x<0, \\ e^{x}, x \geqslant 0\end{array}\right.$ 的反函数是 $\_\_\_\_$ .

15．已知 $f(3^x) = 4x \log_2 3 + 233$，则 $f(2) + f(4) + f(8) + \cdots + f(2^8)$ 的值等于_____．