2012 北京卷 · 文 数学

（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

（5 分）在复平面内，复数 $\frac{10 i}{3+i}$ 对应的点的坐标为

（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）

（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

（5 分）函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right) x$ 的零点个数为

（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（）

（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 与 n 之间的关系如图所示。从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）

（5 分）直线 $y=x$ 被圆 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ 截得的弦长为 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$
$\_\_\_\_$ ，$S_{n}=-\frac{1}{4^{n}(n+1)}$ $\_\_\_\_$ ．

（5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=\sqrt{3}, \angle \mathrm{~A}=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\angle \mathrm{C}$ 的大小为 $-\frac{\pi}{2}$－

（5 分）已知函数 $f(x)=\lg x$ ，若 $f(a b)=1$ ，则 $f\left(a^{2}\right)+f\left(b^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1。

（5 分）已知 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2$ ．若 $\forall x \in R, f(x)<$ 0 或 $\mathrm{g}(\mathrm{x})<0$ ，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-4,0$ ） ．

（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠$C=90$°，D，E分别为AC，AB的中点，
点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A 1DE的位置，使A 1F⊥CD，
如图2．
（1）求证：DE∥平面A 1CB；
（2）求证：A1F⊥BE；
（3）线段A 1B上是否存在点Q，使A 1C⊥平面DEQ？说明理由．

（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0） ，g（x）=x3+bx．
（1）若曲线$y=f$（x）与曲线$y=g$（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求
a，b的值；
（2）当$a=3$，$b=$﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求
k的取值范围．

（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的一个长轴顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，

离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）当 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 k 的值．

（13分）设A是如下形式的2行3列的数表，
a b c
d e f
满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且$a+b+c+d+e+f=0$．
记r i（A）为A的第i行各数之和（$i=1$，2） ，C j（A）为A的第j列各数之和
（$j=1$，2，3） ；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，
|c3（A）|中的最小值．
（1）对如下数表A，求k（A）的值
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A形如
1 1 ﹣1﹣2d
d d ﹣1
其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；
（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．