2011 天津卷 · 文 数学

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3 i}{1-i}=$

设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 1, \\ x+y-4 \leq 0, \\ x-3 y+4 \leq 0,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3 x-y$ 的最大值为

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 $x$ 的值为－

4 ，则输出 $y$ 的值为

设集合 $A=\{x \in R \mid x-2>0\}, B=\{x \in R \mid x<0\}$ ，
$C=\{x \in R \mid x(x-2)>0\}$,
则＂$x \in A \cup B$＂是＂$x \in C$＂的

已知 $a=\log _{2} 3.6, b=\log _{4} 3.2, c=\log _{4} 3.6$ 则

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离为 4 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为 $(-2,-$ 1），则双曲线的焦距为（ ）

已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi), x \in R$ ，其中 $\omega>0,-\pi<\varphi \leq \pi$ ，若 $f(x)$ 的最小正周期为 $6 \pi$ ，且当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$f(x)$ 取得最大值，则

对实数 $a$ 和 $b$ ，定义运算＂$\otimes$＂：$a \otimes b=\left\{\begin{array}{l}a, a-b \leq 1, \\ b, a-b>1 .\end{array}\right.$ 设函数
$f(x)=\left(x^{2}-2\right) \otimes(x-1), x \in R$ 。若函数 $y=f(x)-c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点 ，则实数 $c$ 的取值范围是

已知集合 $A=\{x \in R| | x-1 \mid<2\}, Z$ 为整数集，则集合 $A \cap Z$ 中所有元素的和等于

一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，若 $a_{3}=16, S_{20}=20$ ，则 $S_{10}$ 的值为

开视图

$\_\_\_\_$

係视图

特线绍

已知 $\log _{2} a+\log _{2} b \geq 1$ ，则 $3^{a}+9^{b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

如图已知圆中两条弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F, E$ 是 $A B$ 延长线上一点，且 $D F=C F=\sqrt{2}, A F: F B: B E=4: 2: 1$ ．若 $C E$ 与圆相切，则 $C E$ 的长为 $\_\_\_\_$

已知直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle A D C=90^{\circ}, A D=2, B C=1$ ， $P$ 是腰 $D C$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B=C, 2 b=\sqrt{3} a$ ．
（I）求 $\cos A$ 的值；
（II） $\cos \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值．

（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 。点 $P(a, b)$ 满足

$$ \left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right| $$

（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与圆 $(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=16$ 相交于 M ，N两点，且 $|M N|=\frac{5}{8}|A B|$ ，求椭圆的方程