2009 地方卷 · 理 数学

（5分）（2009•陕西）设不等式 $x^{2}-x \leq 0$ 的解集为 $M$ ，函数 $f(x)=\ln (1-|x|)$ 的定义域为 N ，则 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}$ 为（ ）

（5分）（2009•陕西）已知$z$是纯虚数，$\frac{z+2}{1-i}$是实数，那么$z$等于（　　）

（5分）（2009•陕西）函数 $f(x)=\sqrt{2 x-4}(x \geqslant 4)$ 的反函数为（ ）

（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$ 所截得的弦长为（

（5分）（2009•陕西）若$3\sin\alpha+\cos\alpha=0$，则$\dfrac{1}{\cos^2\alpha+\sin2\alpha}$的值为（　　）

（5分）（2009•陕西）若（1－2x）${ }^{2009}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{2009} x^{2009} ~(x \in R)$ ，则
$\frac{\mathrm{a}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为（ ）

（5分）（2009•陕西）＂$m>n>0$＂是＂方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆＂的 ）

（5分）（2009•陕西）从 $0,1,2,3,4,5$ 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$ ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

（5分）（2009•陕西）定义在 R 上的偶函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足：对任意的 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(-\infty, 0$ ］ $\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ ，有 $\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)>0$ ．则当 $n \in N^{*}$ 时，有（）

14．（4分）（2009•陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同
学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参
加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小
组的有　8　人．

（4分）（2009•陕西）某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 $26,15,13$ ，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 $\_\_\_\_$ 8人。

（4分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为一 $\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ —。

（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．

（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．