直线与圆的位置关系　·　历年高考数学真题与解析

11．已知圆 $C_1: (x+1)^2 + y^2 = 1$，圆 $C_2: (x-1)^2 + y^2 = 1$，圆 $C_3: x^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 1$，直线 $l: y = kx + b$ 与 $C_1, C_2, C_3$ 均有两个交点，记 $l$ 被 $C_1, C_2, C_3$ 截得的弦长分别为 $s_1, s_2, s_3$，则

12． $l_{1}: x-y+6=0$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 交于 C、D 两点，

$|A B|=3|C D|$ ，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

12. $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 $( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$ 交于C、D两点， $| A B | =$ $3 | C D |$ ,则r=

7．已知圆 $x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r>0)$ 上到直线 $y=\sqrt{3} x+2$ 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 $r$的取值范围是

12．已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为

12．已知 $\odot O$ 的半径为 1 ，直线 $P A$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $P B$ 与 $\odot O$ 交于 $B, C$ 两点，$D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O|=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的最大值为（）

12．过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 相切，交曲线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 于点 $P$ ，若 $|O P|=8$ ，则 $p$的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知直线 $l: x-m y+1=0$ 与 $\odot C:(x-1)^{2}+y^{2}=4$ 交于 $A, B$ 两点，写出满足＂$\triangle A B C$ 面积为 $\frac{8}{5}$＂的 $m$的一个值 $\_\_\_\_$ ．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ，曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数，$\left.\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ ．
（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线 $y=x+m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ，曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数，$\left.\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ ．
（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线 $y=x+m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．

6．过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=$（）

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|=$

11．双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $\cos \angle F_{1} N F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $C$ 的离心率为（ ）

12．若直线 $x-y+m=0(m>0)$ 与圆 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=3$ 相交所得的弦长为 $m$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

14．写出与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和 $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$ 都相切的一条直线的方程

3．若直线 $2 x+y-1=0$ 是圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=1$ 的一条对称轴，则 $a=$

11．已知点 $P$ 在圆 $(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$ 上，点 $A(4,0) , B(0,2)$ ，则（ ）

12.

若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 A ，与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切于点 $B$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

21．抛物线$C$的顶点为坐标原点$O$．焦点在$x$轴上，直线$l$：$x=1$交$C$于$P$，$Q$两点，且$OP\perp OQ$．已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切．
（1）求$C$，$\odot M$的方程；
（2）设$A_1,A_2,A_3$是$C$上的三个点，直线$A_1A_2$，$A_1A_3$均与$\odot M$相切．判断直线$A_2A_3$与$\odot M$的位置关系，并说明理由．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；

（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

9．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $l: y=k x+m$ ，当 $k$ 变化时，$l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为 2 ，则 $m=($

11．已知 $\odot M: x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2=0$ ，直线 $l: 2 x+y+2=0, P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当 $|P M| \cdot|A B|$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（ ）

15．设直线 $1: y=k x+b(k>0)$ ，圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=1, C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=1$ ，若直线 $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都相切，则 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — $b=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ —。

12．已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0, m)$ ，半径长是 $r$ ．若直线 $2 x-y+3=0$ 与圆相切于点 $A(-2,-1)$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ，$r=$ $\_\_\_\_$ ．

10．（5 分）在极坐标系中，直线 $\rho \cos \theta+\rho \sin \theta=a ~(a>0) ~$ 与圆 $\rho=2 \cos \theta$ 相切，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ $1+\sqrt{2}$ ．

12．如图，正方形 ABCD 的边长为 20 米，圆 O 的半径为 1 米，圆心是正方形的中心，点 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 分别在线段 $\mathrm{AD} , \mathrm{CB}$ 上，若线段 PQ 与圆 O 有公共点，则称点 Q 在点 P 的＂盲区＂中，已知点 P 以 1.5 米／秒的速度从 A 出发向 D 移动，同时，点 Q 以 1 米／秒的速度从 C 出发向 B 移动，则在点 P 从 A 移动到 D 的

12题图

过程中，点 Q 在点 P 的盲区中的时长约为 $\_\_\_\_$秒（精确到 0.1 ）

15．（5分）直线 $y=x+1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 y-3=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

22．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$ ．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0$
（1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
（2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程。

12．若点 $P(1,2)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．
（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于 $M, N$ 两点，下列三个结论：
①$\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{|M A|}{|M B|}$ ；
②$\frac{|N B|}{|N A|}-\frac{|M A|}{|M B|}=2$ ；
③$\frac{|N B|}{|N A|}+\frac{|M A|}{|M B|}=2 \sqrt{2}$ 。

其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有正确结论的序号）

20．（12分）已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+(y-3) { }^{2}=1$ 交于点 $M , N$ 两点。
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）若 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=12$ ，其中 O 为坐标原点，求 $|\mathrm{MN}|$ ．

7．（5分）过三点 $A(1,3), B(4,2), C(1,-7)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $|M N|=$（ ）

8．已知直线 $l: x+a y-1=0(a \in R)$ 是圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+1=0$ 的对称轴．过点 $A(-4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $|A B|=$

12．（5分）设点M（ $x_{0}, 1$ ），若在圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 上存在点 $N$ ，使得 $\angle O M N=45^{\circ}$ ，则 $\mathrm{x}_{0}$ 的取值范围是（）

12．直线 $l_{1}: y=x+a$ 和 $l_{2}: y=x+b$ 将单位圆 $C: x^{2}+y^{2}=1$ 分成长度相等的四段弧，则
$a^{2}+b^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．某校早上 8： 00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30－7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

15．（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1} { }_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $\_\_\_\_$ $\frac{4}{3}$。

16．（5分）设点M（ $x_{0}, 1$ ），若在圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 上存在点 $N$ ，使得 $\angle O M N=45^{\circ}$ ，则 $\mathrm{x}_{0}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $[-1,1]$。

16．（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1}$与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $-\frac{4}{3}$ —。

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）．
（ I ）求点 P 的坐标；

（II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。

9．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $x+2 y-3=0$ 被圆 $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 截得的弦长为 $\_\_\_\_$ A

14．（ 5 分）（ 2013 • 广东）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t \\ y=\sqrt{2} \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$C$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 1 ，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 1 的极坐标方程为 $\_\_\_\_$。

20．（12分）已知圆M：$(x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：$(x-1)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ．
（ I ）求 C 的方程；
（II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|\mathrm{AB}|$ ．

（6）直线 $x+2 y-5+\sqrt{5}=0$ 被圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y=0$ 截得的弦长为

7．（2013广东，文7）垂直于直线 $y=x+1$ 且与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 相切于第 I 象限的直线方程是 ．

（7）已知圆 $C_{1}:(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ ，圆 $C_{2}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=9, M , N$ 分别是圆
$C_{1} , C_{2}$ 上的动点，$P$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|P M|+|P N|$ 的最小值为

8．已知点 $\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 在圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 外，则直线 $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=1$ 与圆 0 的位置关系是

12．（2012•天津）设 $m, n \in R$ ，若直线 $1: m x+n y-1=0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ ，且 1 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交所得弦的长为 $2, \mathrm{O}$ 为坐标原点，则 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的最小值为 $\_\_\_\_$。

14．如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的两顶点为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，虚轴两端点为 $\mathrm{B} 1, \mathrm{~B} 2$ ，两焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ．若以 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆内切于菱形 $F_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ ，切点分别为 $A, B, C, D$ 。则
（I）双曲线的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ ；
（II）菱形 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 的面积 $\mathrm{S}_{1}$ 与矩形 ABCD 的面积 $\mathrm{S}_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（选修 4－1：几何证明选讲）
如图，点 D 在 $\odot \mathrm{O}$ 的弦 AB 上移动， $\mathrm{AB}=4$ ，连接 OD ，过点 D 作 OD 的垂线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 C ，则 $C D$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

第 15 题图

（3）设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为直线 $y=x$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的两个交点，则 $|A B|=$

11．已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2}, \\ y=8 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）若斜率为 1 的

直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

11．（2011•湖南）如图， $\mathrm{A}, \mathrm{E}$ 是半圆周上的两个三等分点，直径 $\mathrm{BC}=4, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ ，垂足为 D ， BE 与 AD 相交与点 F ，则 AF 的长为 $\_\_\_\_$ ．

13．如图已知圆中两条弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F, E$ 是 $A B$ 延长线上一点，且 $D F=C F=\sqrt{2}, A F: F B: B E=4: 2: 1$ ．若 $C E$ 与圆相切，则 $C E$ 的长为 $\_\_\_\_$

（13）圆心在原点上与直线 $x+y-2=0$ 相切的圆的方程为 $\_\_\_\_$。

（13）已知圆 C 的圆心是直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=1+t\end{array}\right.$（ t 为参数）与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+3=0$相切，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$

8．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=4$ 相交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，若 $|M N| \geq 2 \sqrt{3}$ ，则 k 的取值范围是

15．（5分）已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 和点 $A(1,2)$ ，则过 $A$ 且与圆 $O$ 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积 $=$ $\_\_\_\_$ $\frac{25}{4}$ ．

16．设直线系 $M: x \cos \theta+(y-2) \sin \theta=1(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ ，对于下列四个命题：
$A$ ．存在一个圆与所有直线相交
$B$ ．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切

D ．$M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的代号）．

三．

（4）已知圆 $C$ 与直线 $x-y=0$ 及 $x-y-4=0$ 都相切，圆心在直线 $x+y=0$ 上，则圆 $C$ 的方程为

4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$ 所截得的弦长为（

4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$ 所截得的弦长为（

10．（5分）若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点，则（）

10．（5分）若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点，则（）

11．若圆 $C$ 的半径为 1 ，圆心在第一象限，且与直线 $4 x-3 y=0$ 和 $x$ 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）

14．将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C ，则 $\_\_\_\_$ ，
$l$ 和圆 C 相切，则直线 $l$ 的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

14．（4分）（2008•四川）已知直线 1： $\mathrm{x}-\mathrm{y}+4=0$ 与圆 $\mathrm{C}:(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=2$ ，则 C 上各点到 1 的距离的最小值为 $\_\_\_\_$ ＿ $\sqrt{2}$。

5．（5分）（2008•陕西）直线 $\sqrt{3} x-y+m=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-2=0$ 相切，则实数 $m$ 等于

9．（5 分）（2008－四川）过点（ 0,1 ）的直线与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（ ）