2010 天津卷 · 文 数学

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{3+i}{1-i}=$

设变量x，y满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq3,\\x-y\geq-1,\\y\geq1,\end{cases}$则目标函数z=4x+2y的最大值为

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为

函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{x}+x-2$ 的零点所在的一个区间是

设 $a=\log _{5} 4, b=\left(\log _{5} 3\right)^{2}, c=\log _{4}{ }^{5}$ ，则

设集合 $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}| | \mathrm{x}-\mathrm{a} \mid<1, \mathrm{x} \in \mathrm{R}\}, B=\{x \mid 1<x<5, x \in R\}$ ．若 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing$ ，则实数 a 的取值范围是

设函数 $g(x)=x^{2}-2(x \in R)$ ，
$f(x)=\left\{\begin{array}{c}g(x)+x+4, x<g(x) \\ g(x)-x, x \geq g(x)\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的值域是

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 $\_\_\_\_$

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的焦点相同。则双曲线的方程为 $\_\_\_\_$。

已知圆 C 的圆心是直线 $\mathrm{x}- y+1=0$ 与 $x$ 轴的交点，且圆 $C$ 与直线 $x+y+3=0$ 相切。则圆 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$

正视图

俯视图

设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ 为 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和。记 $T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}, n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 的最大项，则 $n_{0}=$

侧视图

$\_\_\_\_$。

（本小题满分12分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形， $\mathrm{FA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BC} \| \mathrm{AD}, \mathrm{CD}=1$ ， $\mathrm{AD}=2 \sqrt{2}, \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}=45^{\circ}$ ．
（I）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；
（II）证明 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 ABF ；
（III）求二面角B－EF－A的正切值。

（本小题满分 14 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，已知点 A 的坐标为 $(-\mathrm{a}, 0)$ ．
（i）若 $|\mathrm{AB}|=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $\mathrm{Q}\left(0, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在线段 AB 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{\mathrm{QA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}=4$ ．求 $\mathrm{y}_{0}$ 的值．

（21）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，已知点 A 的坐标为 $(-\mathrm{a}, 0)$ ．
（i）若 $|\mathrm{AB}|=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $\mathrm{Q}\left(0, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在线段 AB 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{\mathrm{QA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}=4$ ．求 $\mathrm{y}_{0}$ 的值．

（22）（本小题满分 14 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=0$ ，且对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ 成等差数列，其公差为 $2 k$ ．
（I）证明 $\mathrm{a}_{4}, \mathrm{a}_{5}, \mathrm{a}_{6}$ 成等比数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）记 $T_{n}=\frac{2^{2}}{a_{2}}+\frac{3^{2}}{a_{3}}+\cdots+\frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，证明 $\frac{3}{2}<2 \mathrm{n}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}} \leq 2(\mathrm{n} \geq 2)$ ．

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）