2014 大纲卷 数学

（5分）设 $z = \frac { 1 0 \dot { 1 } } { 3 + \dot { 1 } }$ ，则z的共轭复数为（　　）

（5分）设集合$M=\{x\mid x^2-3x-4<0\}$，$N=\{x\mid 0\leq x\leq5\}$，则$M\cap N=$（　　）

（5分）设 $\scriptstyle \mathsf { a } = \mathsf { s i n } 3 3 ^ { \circ }$ $b = c \cos 5 5 ^ { \circ }$ $\mathsf { c } { = } \mathsf { t a n } 3 5 ^ { \circ }$ ，则（ ）A $a > b > c$ B $b > c > a$ C $\mathtt { c } > \mathsf { b } > \mathsf { a }$ D $c > a > b$

（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）

（5分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点为 ${ \sf \sf { F } } _ { 1 }$ 、 $\mathsf { F } _ { 2 } ,$ ，离心率 为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，过 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 的直线l交C于A、B两点，若 $\triangle \mathsf { A F } _ { 1 } \mathsf { B }$ 的周长为 $\scriptstyle | 4 { \sqrt { 3 } } ;$ ，则C的方程为 （　　） A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 } = 1$ B $\frac { \tt x ^ { 2 } } { 3 } + y ^ { 2 } = 1$ C $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 8 } = 1$ D $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$

（5分）曲线 $\mathsf { y } = \mathsf { x e } ^ { \mathsf { x } - 1 }$ 在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）

（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）A $\frac { 8 1 \pi } { 4 }$ B．16π C．9π D $\frac { 2 7 \pi } { 4 }$

（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂，点A在C上，若 $\vert F _ { 1 } A \vert = 2 \vert F$ $_ 2 \mathsf { A } \parallel$ ，则 $\mathsf { c o s } \angle \mathsf { A F } _ { 2 } \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { = }$ （ A $\frac { 1 } { 4 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac { \sqrt { 2 } } { 4 }$ D $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$

（5分）等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 4 } = 2 , \mathtt { a } _ { 5 } = 5$ ，则数列 $\{ \lg \sf { a } _ { n } \}$ 的前8项和等于（）

（5分）已知二面角α﹣l﹣β为 ${ \mathfrak { 6 0 } } ^ { \circ }$ ， $\mathsf { A B C } \mathtt { Q }$ ，AB⊥l，A为垂足， ${ \mathsf { C D C } } { \mathsf { \beta } }$ ，C∈l，$\angle A C D = 1 3 5 ^ { \circ }$ ，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）A $\frac { 1 } { 4 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 4 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ D $\frac { 1 } { 2 }$

（5分） $( \frac { \texttt { x } } { \sqrt { \texttt { y } } } - \frac { \texttt { y } } { \sqrt { \texttt { x } } } ) ^ { \texttt { 8 } }$ 的展开式中 $\mathsf { x } ^ { 2 } \mathsf { y } ^ { 2 }$ 的系数为　70　．（用数字作答）

（5分）设x、y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - \mathbf { y } \otimes 0 } \\ { \mathbf { x } + 2 \mathbf { y } \leqslant 3 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } \leqslant 1 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x + 4 y$ 的最大值为　5

（5分）直线$l_1$和$l_2$是圆$x^2+y^2=2$的两条切线，若$l_1$与$l_2$的交点为$(1,\ 3)$，则$l_1$与$l_2$的夹角的正切值等于$\underline{\ \ \ \ \ }$．

（5分）若函数f $( x ) = \cos 2 x + a \sin x$ 在区间 $( \frac { \pi } { 6 } , \ \frac { \pi } { 2 } )$ 是减函数，则a的取值范围是　（﹣∞，2]

（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA$\tan A = \frac { 1 } { 3 }$ ，求B．

（12分）等差数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$，已知$a_1=13$，$a_2$为整数，且$S_n\le S_4$．
（1）求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）设$b_n=\frac{1}{a_n a_{n+1}}$，求数列$\{b_n\}$的前n项和$T_n$．

（12分）如图，三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，点 ${ \sf A } _ { 1 }$ 在平面ABC内的射影D在AC上$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } , ~ { \mathsf { B C } } = 1 , ~ { \mathsf { A C } } = { \mathsf { C C } } _ { 1 } = 2$

（Ⅰ）证明： $\mathsf { A C } _ { 1 } \bot \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ ；

（Ⅱ）设直线 ${ \mathsf { A A } } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 的距离为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，求二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A B } - \mathsf { C }$ 的大小．

（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立

（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望

（12分）已知抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x } \ \left( \mathsf { p } { > } 0 \right)$ 的焦点为F，直线 $\mathsf { y } = 4$ 与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且 $| \mathsf { O F } | = \frac { 5 } { 4 } | \mathsf { P Q } |$

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程