2013 大纲卷 数学

（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合 $\cdot { \mathsf { A } } = \{ 1 , \begin{array} { r l } \end{array} 2 \}$ ，则 $\complement _ { \cup } \mathsf { A } =$ （　　）

（5分）若$\alpha$为第二象限角，$\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$，则$\cos\alpha=$（　　）

（5分）已知向量 $ \stackrel { } { \pi } = ~ ( \lambda + 1 , ~ 1 ) ~ , ~ \stackrel { } { \mathrm { \scriptsize { n } } } = ~ ( \lambda + 2 , ~ 2 )$ ，若 $( \vec { \pi } ^ { + } \vec { \eta } ) \downarrow ( \vec { \pi } - \vec { \eta } )$ 则λ=（　　）

（5分）不等式 $\left| \mathsf { x } ^ { 2 } - 2 \right| < 2$ 的解集是（　　）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C $( \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } 1 , \mathbf { \Sigma } 0 ) \cup \mathbf { \Sigma } ( 0 , \mathbf { \Sigma } 1 )$ D $( \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } 2 , \ \mathbf { \Sigma } 0 ) \ \cup \ ( 0 , \ 2 )$

（5分）（x+2）⁸的展开式中x⁶的系数是（　　）

（5分）函数f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Sigma } = \mathbf { l 0 g _ { 2 } } ( \mathbf { 1 + \frac { 1 } { x } } ) ( \mathbf { x } > 0 )$ 的反函数f﹣¹（x）=（ ）A $\frac { 1 } { 2 ^ { ^ { \mathbf { x } } } - 1 } ( \mathbf { x } > 0 )$ B $\frac { 1 } { 2 ^ { \mathbf { x } } - 1 } ( \mathbf { x } \neq 0 )$ C $2 ^ { \mathsf { x } } - 1 ( { \mathsf { x } } \in { \mathsf { R } } )$ D $2 ^ { \mathsf { x } } - 1 ( \mathsf { x } { > } 0 )$

（5分）已知数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $3 a _ { n + 1 } + a _ { n } = 0$ $a _ { 2 } = - \frac { 4 } { 3 }$ ，则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前10项和等于（）A $\textbf { - 6 } ( 1 - 3 ^ { - 1 0 } )$ B ${ \frac { 1 } { 9 } } ( 1 - 3 ^ { - 1 0 } )$ C．3 $( 1 - 3 ^ { - 1 0 } )$ D $3 ( 1 + 3 ^ { - 1 0 } )$

（5分）已知F₁（﹣1，0）， $\mathsf { F } _ { 2 } \ ( 1 , \ 0 )$ 是椭圆C的两个焦点，过 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 且垂直于 $\cdot _ { \mathsf { X } }$ 轴的直线交椭圆于A、B两点，且 $\vert A B \vert = 3$ ，则C的方程为（　　）

A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ B $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$ D $\frac { x ^ { 2 } } { 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

（5分）若函数 $\forall = \sin ( \omega \mathbf { x } + \phi ) \quad ( \omega > 0 )$ 的部分图象如图，则ω=（　　）

（5分）已知曲线 $y = x ^ { 4 } + a x ^ { 2 } + 1$ 在点 $( \mathbf { \partial } - 1 , \mathbf { \partial } \mathsf { a } ^ { + } 2 )$ 处切线的斜率为8，a=（）

（5分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 8 x$ 的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 $\overrightarrow { M A } \cdot \overrightarrow { M B } = 0$ ，则k=（　　）A $\sqrt { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ C $\frac { 1 } { 2 }$ D．2

（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有　60　种．（用数字作答）

（5分）若x、y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x \geqslant 0 } } \\ { \mathbf { x + 3 y \geqslant 4 } } \\ { \mathbf { 3 x + y \leqslant 4 } } \end{array} \right.$ ，则 $2 = - x + y$ 的最小值为　0

（10分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathsf { a } _ { 7 } = 4 , \mathsf { a } _ { 1 9 } = 2 \mathsf { a } _ { 9 }$

（Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b _ { n } = \frac { 1 } { n \bar { a } _ { n } }$ ，求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和 $S _ { \mathfrak { n } }$

（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a−b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若$\sin A \sin C = \frac{\sqrt{3}-1}{4}$，求C．

（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率

（12分）已知函数$f(x)=x^3+3ax^2+3x+1$．
（Ⅰ）求$a=\sqrt{2}$时，讨论$f(x)$的单调性；
（Ⅱ）若$x\in[2,+\infty)$时，$f(x)\geq0$，求$a$的取值范围．