2014 大纲卷 数学

（5分）设集合M={1，2，4，6，8}， ${ \mathsf N } = \{ 1$ ，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　）

（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（　　）A $\frac { 4 } { 5 }$ B $\frac { 3 } { 5 }$ C $- \frac { 3 } { 5 }$ D $- \frac { 4 } { 5 }$

（5分）不等式组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } \left( \mathbf { x } + 2 \right) > 0 } \\ { \left| \mathbf { x } \right| < 1 } \end{array} \right.$ 的解集为（　　）
A $\{ { \pmb x } | - 2 { < } { \pmb x } { < } - 1 \}$ B $\{ { \pmb { \times } } | - 1 { < } { \pmb { \times } } { < } 0 \}$ C $\{ { \pmb { x } } | 0 { < } { \pmb { x } } { < } 1 \}$ D $\{ \mathbf { x } | \mathbf { x } { > } 1 \}$

（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）A $\frac { 1 } { 6 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 6 }$ C $\frac 1 3$ D $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

（5分）已知 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为单位向量，其夹角为 $60^\circ$，则 $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = $（　　）

（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）

（5分）设等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathsf { I S } _ { \mathsf { n } }$ ．若 $S _ { 2 } = 3$ $\mathsf { S } _ { 4 } \mathsf { = } 1 5$ ，则 ${ \mathsf S } _ { 6 } \mathrm { = }$

（5分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ ）的左、右焦点为 $\mathsf { F } _ { 1 }$ 、 $\mathsf { F } _ { 2 } ,$ ，离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，过 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 的直线l交C于A、B两点，若 $\triangle \mathsf { A F } _ { 1 } \mathsf { B }$ 的周长为 $\scriptstyle | 4 { \sqrt { 3 } }$ ，则C的方程为（）A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 } = 1$ B $\frac { \tt x ^ { 2 } } { 3 } + y ^ { 2 } = 1$ C $\frac { { \mathbf x } ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { { \mathbf y } ^ { 2 } } { 8 } = 1$ D． $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$

（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）A $\frac { 8 1 \pi } { 4 }$ B．16π C．9π D $\frac { 2 7 \pi } { 4 }$

（5分）双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ ）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则C的焦距等于（　　）A．2 B $2 \sqrt { 2 }$ C．4 D $4 \sqrt { 2 }$

（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（　　）

（5分）（x－2）⁶的展开式中x³的系数是______．（用数字作答）

（5分）函数 $\mathsf { y } = \mathsf { c o s 2 x } + 2 \mathsf { s i n x }$ 的最大值是 $- \frac { 3 } { 2 } -$

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - \mathbf { y } \otimes 0 } \\ { \mathbf { x } + 2 \mathbf { y } \leqslant 3 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } \leqslant 1 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x + 4 y$ 的最大值为　5

（5分）直线$l_1$和$l_2$是圆$x^2+y^2=2$的两条切线，若$l_1$与$l_2$的交点为$(1,\ 3)$，则$l_1$与$l_2$的夹角的正切值等于$\underline{\ \ \dfrac{4}{3}\ \ }$．

（10分）数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { a } _ { 2 } = 2 , ~ \mathsf { a } _ { n + 2 } = 2 \mathsf { a } _ { n + 1 } - \mathsf { a } _ { { n } } + 2$

（Ⅰ）设 $\mathsf { b } _ { \mathsf { n } } { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ ，证明 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 是等差数列；

（Ⅱ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式

（12分）如图，三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，点 ${ \sf A } _ { 1 }$ 在平面ABC内的射影D在AC上$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ，BC=1， ${ \mathsf { A C } } { = } \mathsf { C C } _ { 1 } { = } 2$

（Ⅰ）证明： $\mathsf { A C } _ { 1 } \bot \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ ；

（Ⅱ）设直线 $\mathsf { A A } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 的距离为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，求二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A B } - \mathsf { C }$ 的大小．

（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立

（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 $\mathcal { \cdot } \mathcal { k } ^ { \prime \prime }$ 的概率小于0.1，求k的最小值