2014 地方卷 数学

设 $i$ 是虚数单位，复数 $i^3 + \dfrac{2i}{1+i} = ($　　$)$

命题 “$\forall x \in R, |x| + x^2 \geq 0$” 的否定是（　　）

抛物线 $y = { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 }$ 的准线方程是（）

设 $a = \log _ { 3 } 7 , b = 2 ^ { 1 . 1 } , c = 0 . 8 ^ { 3 . 1 }$ 则

过点 $P(-\sqrt{3},1)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是（　　）

若将函数 $f ( x ) = \sin 2 x + \cos 2 x$ 的图像向右平移 $\varphi$ 个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是

一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是

若函数 $f ( x ) = \left| x + 1 \right| + \left| 2 x + a \right|$ 的最小值3，则实数a的值为（）

设 $\vec { a } , \vec { b }$ 为非零向量， $\left| \vec { b } \right| = 2 \left| \vec { a } \right|$ ，两组向量 $\overrightarrow { x _ { 1 } } , \overrightarrow { x _ { 2 } } , \overrightarrow { x _ { 3 } } , \overrightarrow { x _ { 4 } }$ 和 $y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } , y _ { 4 }$ 均由2个 $\vec { a }$ 和2个 $\vec { b }$ 排列而成，若${ \overrightarrow { x _ { 1 } } } \cdot { \overrightarrow { y _ { 1 } } } + { \overrightarrow { x _ { 2 } } } \cdot { \overrightarrow { y _ { 2 } } } + { \overrightarrow { x _ { 3 } } } \cdot { \overrightarrow { y _ { 3 } } } + { \overrightarrow { x _ { 4 } } } \cdot { \overrightarrow { y _ { 4 } } }$ 所有可能取值中的最小值为4 $\mathinner { | { \vec { a } } | } ^ { 2 }$ ，则 $\vec { a } \subseteq \vec { b }$ 的夹角为（）

$\left( { \frac { 1 6 } { 8 1 } } \right) ^ { - { \frac { 3 } { 4 } } } + \log _ { 3 } { \frac { 5 } { 4 } } + \log _ { 3 } { \frac { 4 } { 5 } } =$

如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中，斜边 $B C = 2 \sqrt { 2 }$，过点A作BC的垂线，垂足为 $A _ { 1 }$；过点 $A _ { 1 }$ 作 $A C$ 的垂线，垂足为 $A _ { 2 }$；过点 $A _ { 2 }$ 作 $A _ { 1 } C$ 的垂线，垂足为 $A _ { 3 } ; \cdots$，以此类推，设 $B A = a _ { 1 }$ $A A _ { 1 } = a _ { 2 }$ $A _ { 1 } A _ { 2 } = a _ { 3 } , \cdots , A _ { 5 } A _ { 6 } = a _ { 7 }$，则 $a _ { 7 } =$

若直线l与曲线C满足下列两个条件：

(i)直线l在点 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处与曲线C相切；(ii)曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处

“切过”曲线C.

下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)

①直线l: y =0在点P(0,0)处“切过”曲线C： $y = x ^ { 3 }$

②直线l:x =-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C： $y = ( x + 1 ) ^ { 2 }$

③直线l: y = x 在点 P(0,0)处“切过”曲线C：y = sin x

④直线l: y = x 在点P(0,0)处“切过”曲线C: $y = \tan x $

⑤直线 $l : y = x - 1$ 在点 P(1,0)处“切过”曲线C： $y = \ln x$

（本小题满分12分）

设∆ABC的内角 A,B,C所对边的长分别是 $a , b , c$ ，且 $b = 3 , c = 1$ ，ΔABC的面积为 $\sqrt { 2 }$ ，求 $\cos A a$ 的值.

（本小题满分12分）

某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）

（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？

（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：

$$ K ^ { 2 } = { \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } } $$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $P ( K ^ { 2 } \geq k _ { 0 } )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0.10</td><td rowspan=1 colspan=1>0.05</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.005</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k0</td><td rowspan=1 colspan=1>2.706</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>7.879</td></tr></table>