2014 新课标 I 卷 数学

（5分）已知集合 $\mathbf { \delta A } { \mathbf { = } } \left\{ { \mathbf { x } } \mid { \mathbf { x } } ^ { 2 } - 2 { \mathbf { x } } - 3 { \geq } 0 \right\}$ $\mathsf { B } = \{ \mathsf { x } | - 2 \leq x < 2 \}$ ，则A∩B=（　　）A．[1，2） B $[ \mathbf { \nabla } - \mathbf { 1 } , \mathbf { \nabla } \mathbf { 1 } ]$ C $[ \mathbf { \partial } - 1 , \mathbf { \ } 2 )$ D $\left[ { \begin{array} { l l } { - 2 , } & { - \ 1 } \end{array} } \right]$

（5分） $\frac { ( 1 + i ) ^ { 3 } } { ( 1 - i ) ^ { 2 } } =$ ）

（5分）已知F为双曲线C： $\mathsf { x } ^ { 2 } \cdot \mathsf { m } \mathsf { y } ^ { 2 } { = } 3 \mathsf { m } ~ ( \mathsf { m } { > } 0 )$ ）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）A $\sqrt { 3 }$ B．3 C $\sqrt { 3 } m$ D．3m

（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）A $\frac { 1 } { 8 }$ B $\frac { 3 } { 8 }$ C $\frac { 5 } { 8 }$ D $\frac { 7 } { 8 }$

（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则$y=f$（x）在[0，π]的图象大致为（）

A

B

C

D

（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）

A $\frac { 2 0 } { 3 }$ B $\frac { 7 } { 2 }$ C $\frac { 1 6 } { 5 }$ D $\frac { 1 5 } { 8 }$

（5分）设 ${ \mathfrak { a } } \in \ ( 0 , \ \frac { \pi } { 2 } )$ $\beta \in ( 0 , \ \frac { \pi } { 2 } )$ ，且 $\tan \alpha = \frac { 1 + \sin \beta } { \cos \beta }$ ，则（ ）A $3 a - \beta = \frac { \pi } { 2 }$ B $3 \alpha + \beta = \frac { \pi } { 2 }$ C $2 \alpha - \beta = \frac { \pi } { 2 }$ D $2 \alpha + \beta = \frac { \pi } { 2 }$

（5分）不等式组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } \geqslant 1 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } \leqslant 4 } \end{array} \right.$ 的解集记为D，有下列四个命题：

p₁：∀（x，y）∈D， $x ^ { + } 2 y \geq - \ 2 \ p _ { 2 }$ ：∃（x，y）∈D， $x + 2 y = 2$

p₃：∀（x，y）∈D， $x ^ { + } 2 y { \leq } 3 p _ { 4 }$ ：∃（x，y）∈D， $\tt x ^ { + } 2 y \leq - \ 1$

其中真命题是（　　）

（5分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，P是l上一点， $\mathtt { Q } \mathtt { \cdot }$ 是直线PF与C的一个交点，若 $\overrightarrow { F P } = 4 \overrightarrow { F Q }$ ，则 $\left| \mathsf { O F } \right| =$ （ ）A $\frac { 7 } { 2 }$ B．3 C $\frac { 5 } { 2 }$ D．2

（5分）已知函数f $( { \bf { x } } ) { \bf { \varepsilon } } = { \bf { a } } { \bf { x } } ^ { 3 } - 3 { \bf { x } } ^ { 2 } + 1$ ，若f（x）存在唯一的零点 $\mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 }$ ，且 $. \mathsf { x } _ { 0 } > 0$ ，则实数a的取值范围是（　　）A $( 1 , \ + \infty )$ B $( 2 , ~ + \infty )$ C $\big ( \mathrm { ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ - ~ } 1 \big )$ D． $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } - 2 )$

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）

A $6 \sqrt { 2 }$ B．6 C $4 \sqrt { 2 }$ D．4

（5分）$(x - y)(x + y)^8$的展开式中$x^2y^7$的系数为______．（用数字填写答案）

（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为　A

（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若 $\overrightarrow { A O } = \frac { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } )$ ，则 $\overrightarrow { A B } .$ 与 $\overrightarrow { \mathrm { A C } }$ 的夹角为 $90 ^ { \circ }$

（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b） $( \sin A - \sin B ) = ( c - b ) \sin C$ ，则△ABC面积的最大值为 $\sqrt { 3 }$

（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明： $\angle D = \angle E$

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明： $\triangle \mathsf { A D E }$ 为等边三角形

若 $a>0$，$b>0$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$．
（Ⅰ）求 $a^3+b^3$ 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 $a$，$b$，使得 $2a+3b=6$？并说明理由．