2014 新课标 II 卷 数学

（5分）设集合 $\mathsf { M } = \{ 0 , \ 1 , \ 2 \}$ $N = \{ { \sf x } | { \sf x } ^ { 2 } - 3 { \sf x } + 2 { \leq } 0 \}$ ，则M∩N=（　　）

（5分）设复数 $\cdot z _ { 1 }$ ， $\mathbf { \delta } _ { \mathbf { Z } _ { 2 } } .$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称， $z _ { 1 } { = } 2 + \ i$ ，则 $z _ { 1 } z _ { 2 } =$ （）

（5分）设向量 $\vec { \mathsf { a } } ,$ ， 满足 $\vert \overrightarrow { \sf { a } } + \overrightarrow { \sf { b } } \vert = \sqrt { 1 0 } , \vert \overrightarrow { \sf { a } } - \overrightarrow { \sf { b } } \vert = \sqrt { 6 } ,$ ，则 $\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =$ （ ）

（5分）钝角三角形ABC的面积是 $\frac{1}{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，则AC=（　　）

（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）

（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　）

A $\frac { 1 7 } { 2 7 }$ B $\frac { 5 } { 9 }$ C $\frac { 1 0 } { 2 7 }$ D $\frac 1 3$

（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的$S=$（）

（5分）设曲线 $y = \mathsf { a x } - \mathsf { l n } ( \mathsf { x } + 1 )$ 在点（0，0）处的切线方程为 $y = 2 x$ ，则a=（）

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 7 \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - 3 \mathbf { y } + 1 \leqslant 0 } \\ { 3 \mathbf { x } - \mathbf { y } - 5 \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（　　）

（5分）设F为抛物线C： $y ^ { 2 } = 3 x$ 的焦点，过F且倾斜角为 ${ \mathfrak { 3 0 } } ^ { \circ }$ 的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则 $\triangle0 \mathsf { A B }$ 的面积为（　　）A $\frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$ B $\frac { 9 { \sqrt { 3 } } } { 8 }$ C $\frac { 6 3 } { 3 2 }$ D $\frac { 9 } { 4 }$

（5分）直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \sharp$ $\angle B C A = 9 0 ^ { \circ }$ ，M，N分别是 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的中点， ${ \mathsf { B C } } { = } { \mathsf { C A } } { = } { \mathsf { C C } } _ { 1 }$ ，则 $\mathsf { B M }$ 与AN所成角的余弦值为（　　）A $\frac { 1 } { 1 0 }$ B $\frac { 2 } { 5 }$ C $\frac { \sqrt { 3 0 } } { 1 0 }$ D $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

（5分）设函数f $( x ) = \sqrt { 3 } \sin \frac { \pi _ { \mathrm { ~ \bf ~ x ~ } } } { \pi }$ ，若存在f（x）的极值点 $\left. \mathbf { x } _ { 0 } \right.$ 满足 $\mathsf { x } _ { 0 } { } ^ { 2 } + [ \mathsf { f } ( \mathsf { x } _ { 0 } $ ） $] ^ { 2 } < { \mathsf { m } } ^ { 2 }$ ，则m的取值范围是（　　）A $\left( \mathbf { \Sigma } - \infty , \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } 6 \right) \cup \left( \mathbf { \Sigma } 6 , \mathbf { \Sigma } + \infty \right)$ B $( ~ - ~ \infty , ~ - ~ 4 ) ~ \cup ~ ( ~ 4 , ~ + \infty )$ C $( ~ - ~ \infty , ~ - ~ 2 ) ~ \cup ~ ( ~ 2 , ~ + \infty )$ D $\left( \mathbf { \Sigma } - \infty , \mathbf { \Sigma } - \mathbf { 1 } \right) \cup \left( \mathbf { 1 } , \mathbf { \Sigma } + \infty \right)$

（5分）$(x+a)^{10}$的展开式中，$x^7$的系数为15，则$a=\underline{\quad\frac{1}{2}\quad}$．

（5分）函数$f(x)=\sin(x+2\phi)-2\sin\phi\cos(x+\phi)$的最大值为$\underline{\quad1\quad}$．

（5分）设点 $\textsf { M } \left( \mathbf { \lambda } \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { \lambda } 1 \right)$ ，若在圆O： $\mathsf { x } ^ { 2 } { + } \mathsf { y } ^ { 2 } { = } 1$ 上存在点N，使得 $\angle O M N = 4 5 ^ { \circ }$ ，则 $\lvert \mathbf { x } _ { 0 }$ 的取值范围是 $\underline { { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 , } & { 1 } \end{array} \right] } }$

（12分）已知数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $\mathsf { a } _ { 1 } { = } 1 , ~ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } { = } 3 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } { + } 1$

（Ⅰ）证明 $\{ { \mathsf { a } } _ { \mathsf { n } } + { \frac { 1 } { 2 } } \}$ 是等比数列，并求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）证明： $\frac { 1 } { \mathsf { a } _ { 1 } } + \frac { 1 } { \mathsf { a } _ { 2 } } + \ldots + \frac { 1 } { \mathsf { a } _ { \mathrm { n } } } < \frac { 3 } { 2 } .$

（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1， ${ \mathsf { A D } } { = } { \sqrt { 3 } } ,$ ，求三棱锥E﹣ACD的体积

（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ） $\mathsf { A D } \bullet \mathsf { D } \mathsf { E } = 2 \mathsf { P B } ^ { 2 }$

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$，$\theta\in[0,\ \dfrac{\pi}{2}]$
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：$y=\sqrt{3}x+2$垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．