2014 浙江卷 · 文 数学

设集合 $S=\{x \mid x \geq 2\}, T=\{x \mid x \leq 5\}$ ，则 $S \cap T=()$

设四边形 ABCD 的两条对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ ，则＂四边形 ABCD 为菱形＂是＂ $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$＂的（）

某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的的体积是（）

为了得到函数 $y=\sin 3 x+\cos 3 x$ 的图象，可以将函数 $y=\sqrt{2} \cos 3 x$ 的图像（ ）

已知圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-2 y+a=0$ 截直线 $x+y+2=0$ 所得弦的长度为 4 ，则实数 $a$ 的值是

设 $m, n$ 是两条不同的直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面（ ）

已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，且 $0 \leq f(-1)=f(-2)=f(-3) \leq 3$ ，则（ ）

在同一直角坐标系中，函数 $f(x)=x^{a} \quad(x>0), \quad g(x)=\log _{a} x$ 的图象可能是（ ）

设 $\theta$ 为两个非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角，已知对任意实数 $t$，$|\vec{b}+t\vec{a}|$ 是最小值为 1（　　）

如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 $\theta$ 的大小（仰角 $\theta$ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角）。若 $A B=15 m, A C=25 m, \angle B C M=30^{\circ}$ 则 $\tan \theta$ 的最大值

已知 $i$ 是虚数单位，计算 $\frac{1-i}{(1+i)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ；

若某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运行后输出的结果是 $\_\_\_\_$ ；

在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖，甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是 $\_\_\_\_$ ；

设函数
222 2, 0( ), 0x x xf xx xì+ + £ï=í- ïî
，若 ( ( )) $2f f a=$，则a＝_________；

已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=0, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ ，则 $a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ；

设直线 $x-3 y+m=0(m \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，若点 $P(m, 0)$ 满足 $|P A|=|P B|$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

（本题满分 14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知
$4 \sin ^{2} \frac{A-B}{2}+4 \sin A \sin B=2+\sqrt{2}$
（1）求角 C 的大小；（2）已知 $b=4, \triangle A B C$ 的面积为 6 ，求边长 $c$ 的值。
18．考点与思路：考点是三角变换与解三角形问题．解决问题的关键是熟练运用三角变换的常用技巧，如降幂公式，和差公式以及正余弦定理等．

（本题满分 14 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d>0$ ，设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{2} \cdot S_{3}=36$

（1）求 $d$ 及 $S_{n}$ ；
（2）求 $m, k\left(m, k \in N^{*}\right)$ 的值，使得 $a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_{m+k}=65$

19．考点与思路：考点是等差数列及其前 $n$ 项和问题．解决问题的关键是熟练运用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式以及一定的运算能力等

（本题满分 15 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BCDE}$ 中，平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D E ; \angle C D E=\angle B E D=90^{\circ}$ ， $A B=C D=2, D E=B E=1, A C=\sqrt{2}$ 。
（1）证明：$A C \perp$ 平面 $B C D E$ ；
（2）求直线 $A E$ 与平面 ABC 所成的角的正切值。

（本题满分 15 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}+3|x-a|(a>0)$ ，若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值记为 $g(a)$ 。
（1）求 $g(a)$ ；
（2）证明：当 $x \in[-1,1]$ 时，恒有 $f(x) \leq g(a)+4$

21．考点与思路：考点是运用导数求函数的最值问题．解决问题的关键是合理的分类讨论．