2015 地方卷 数学

i 为虚数单位，$i607 =$ （ ）

我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

命题“3 $x _ { 0 } \in ( 0 , + \infty )$ , ln $x _ { 0 } = x _ { 0 } - 1 \ '$ '的否定是（）

已知变量x和y满足关系 $y = - 0 . 1 x + 1$ ，变量y与z正相关. 下列结论中正确的是（）

l,l,表示空间中的两条直线，若 $p \colon ~ l _ { 1 } , l _ { 2 }$ 是异面直线；q：l,l2不相交，则（）

函数 $f ( x ) = \sqrt { 4 - \left| x \right| } + \lg \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } { x - 3 }$ 的定义域为

设 $x \in \mathbf { R }$ ，定义符号函数 $\operatorname { s g n } x = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \ } & { x > 0 , } \\ { 0 , \ } & { x = 0 , } \\ { - 1 , \ } & { x < 0 . } \end{array} \right. }$ 则（）

在区间[0, 1]上随机取两个数 $x , y$ ，记 $p _ { 1 }$ 为事件 ${ } ^ { \ast \ast } x + y \leq { \frac { 1 } { 2 } } ,$ 的概率， $p _ { 2 }$ 为事件“ $x y \leq { \frac { 1 } { 2 } } ,$ 的概率，则（）

将离心率为 $e _ { 1 }$ 的双曲线 $C _ { 1 }$ 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ≠ b) 同时增加 m (m > 0) 个单位长度，得到离心率为 $e _ { 2 }$ 的双曲线 $C _ { 2 }$ ，则（）

已知集合 $A = \{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 , x , y \in \mathbf { Z } \} ~ , ~ B = \{ ( x , y ) { \big | } | x | \leq 2 , | y | \leq 2 , x , y \in \mathbf { Z } \}$，定义集合 $A \oplus B = \{ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } , y _ { 1 } + y _ { 2 } ) { \big | } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \in A , ~ ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \in B \}$，则A⊕B中元素的个数为

已知向量 ${ \overrightarrow { O A } } \bot { \overrightarrow { A B } }$ $\vert \overrightarrow { O A } \vert = 3$ ，则 ${ \overrightarrow { O A } } \cdot { \overrightarrow { O B } } =$

若变量x, y满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y \leq 4 , } \\ { x - y \leq 2 , } \\ { 3 x - y \geq 0 } \end{array} } \right.$ 则 $3 x + y$ 的最大值是

函数 $f ( x ) = 2 \sin x \sin ( x + { \frac { \pi } { 2 } } ) - x ^ { 2 }$ 的零点个数为

某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额

（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）直方图中的$a=$

（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $3 0 ^ { \circ }$ 的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北 $7 5 ^ { \circ }$ 的方向上，仰角为 $3 0 ^ { \circ }$ ，则此山的高度CD = m.

如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方)，且 $\left| A B \right| = 2$

第16题图

（Ⅰ）圆C的标准方程为

（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为

$a$ 为实数，函数 $f(x)=|x^2-ax|$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值记为 $g(a)$．当 $a=$__________时，$g(a)$ 的值最小．

18.（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数 $f ( x ) = A \sin ( \omega x + \varphi ) \ ( \omega > 0 , \mid \varphi \mid < { \frac { \pi } { 2 } } )$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $\omega x + \varphi$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>π2</td><td rowspan=1 colspan=1>π</td><td rowspan=1 colspan=1>3π2</td><td rowspan=1 colspan=1>2π</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>x</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>π3</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 5 \pi } { 6 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1> $A \sin ( \omega x + \varphi )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>5</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>-5</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td></tr></table>

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）将y=f(x)图象上所有点向左平行移动 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度，得到 $y = g ( x )$ 图象，求$y = g ( x )$ 的图象离原点O最近的对称中心.

（本小题满分12分）

设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 d，前 n项和为 $S _ { n }$ ，等比数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的公比为q. 已知 $b _ { 1 } = a _ { 1 } , b _ { 2 } = 2 , q = d$ $S _ { 1 0 } = 1 0 0$

（Ⅰ）求数列 $\{ a _ { n } \} \ , \quad \{ b _ { n } \}$ 的通项公式；

（ⅡI）当 $d > 1$ 时，记 $c _ { n } = { \frac { a _ { n } } { b _ { n } } }$ ，求数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ 的前 n 项和 $T _ { n }$