2015 北京卷 数学

（5 分）复数 i（2﹣i）=（　　）

（5分）若x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - \mathbf { y } \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } \leqslant 1 } \\ { \mathbf { x } \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（　　）

（5 分）设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β“是 $" \alpha / / \beta "$ 的（　　）

（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 A $2 { + } \sqrt { 5 }$ B $4 { + } \sqrt { 5 }$ C $2 \div 2 \sqrt { 5 }$ D．5

（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（　　）

（5分）在（2+x）⁵的展开式中， $\mathsf { x } ^ { 3 }$ 的系数为　40　（用数字作答）

（5 分）已知双曲线 ${ \frac { \tt x ^ { 2 } } { \tt a ^ { 2 } } } - { \tt y } ^ { 2 } { = } 1 ( { \tt a } > 0 )$ 的一条渐近线为 $\sqrt { 3 } x + y = 0$ ，则 $\mathtt { a } =$ ${ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } -$

（5 分）在极坐标系中，点 $( 2 , \ { \frac { \pi } { 3 } } )$ 到直线 $\textsf { \textsf { P } } ( \cos \theta + { \sqrt { 3 } } \sin \theta ) \ { = } 6$ 的距离为
1

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，a=4，b=5，c=6，则 $\frac { \sin 2 A } { \sin C } = \frac { 1 } { 1 }$

在$\triangle ABC$中，点M，N满足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}$，若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则$x=$$\underline{\dfrac{1}{2}}$，$y=$$\underline{-\dfrac{1}{6}}$．

设函数$f(x)=\begin{cases}2^x-a,&x<1,\\4(x-a)(x-2a),&x\geqslant1\end{cases}$
①若$a=1$，则$f(x)$的最小值为______；
②若$f(x)$恰有2个零点，则实数$a$的取值范围是______．

（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A 组：10，11，12，13，14，15，16

B 组；12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙

（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（Ⅱ）如果$a=25$，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

（14 分）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中， $\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $\mathsf { A E F \bot }$ 平面 EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a， $\angle E B C = \angle F C B = 6 0 ^ { \circ }$ ，O为EF的中点

（Ⅰ）求证：AO⊥BE

（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；

（Ⅲ）若 $\tt B E \bot$ 平面 AOC，求 a 的值

（13分）已知函数 ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) = \mathsf { I n } \frac { 1 + \mathbf { x } } { 1 - \mathbf { x } }$

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求证，当 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 时， ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { x } \right) > _ { 2 } ( \mathbf { x } + { \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } } )$ ；

（Ⅲ）设实数 k 使得 ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { x } \right) > \mathbf { k } \left( \mathbf { x } + { \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } } \right)$ 对 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 恒成立，求k的最大值