2015 地方卷 数学

若集合 $A = \left\{ i , i ^ { 2 } , i ^ { 3 } , i ^ { 4 } \right\}$ （ 是虚数单位），i $B = \left\{ 1 , - 1 \right\}$，则 $A \cap B$ 等于

下列函数为奇函数的是( )A $y = { \sqrt { x } }$ B $y = \left| \sin x \right|$ C $y = \cos x $ D $y = e ^ { x } - e ^ { - x }$

若双曲线 $E : \frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 } = 1$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ ，点 在双曲线 上，且 P E $\left| P F _ { 1 } \right| { = } 3$ ，则 $\left| P F _ { 2 } \right|$ 等于
（　）

为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>收入x (万元)</td><td rowspan=1 colspan=1>8.2</td><td rowspan=1 colspan=1>8.6</td><td rowspan=1 colspan=1>10.0</td><td rowspan=1 colspan=1>11.3</td><td rowspan=1 colspan=1>11.9</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>支出y (万元)</td><td rowspan=1 colspan=1>6.2</td><td rowspan=1 colspan=1>7.5</td><td rowspan=1 colspan=1>8.0</td><td rowspan=1 colspan=1>8.5</td><td rowspan=1 colspan=1>9.8</td></tr></table>

根据上表可得回归直线方程 $\hat { y } = \hat { b } x + \hat { a }$，其中 $\hat { b } = 0 . 7 6 , \hat { a } = \overline { { y } } - \hat { b } \overline { { x } }$，据此估计，该社区一户收入为 15 万
元家庭年支出为

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x + 2y \geq 0, \\ x - y \leq 0, \\ x - 2y + 2 \geq 0, \end{cases}$ 则 $z = 2x - y$ 的最小值等于（　　）

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为

若 是函数a b, $f \left( x \right) = x ^ { 2 } - p x + q \left( p > 0 , q > 0 \right)$ 的两个不同的零点，且 $a , b , - 2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p + q$ 的值等于

已知 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC},\left|\overrightarrow{AB}\right|=\dfrac{1}{t},\left|\overrightarrow{AC}\right|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{4\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}$ ，则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}$ 的最大值等于（　　）

$(x+2)^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数等于___________.（用数字作答）

若锐角 $\Delta A B C$ 的面积为 $1 0 \sqrt { 3 }$ ，且 $\boldsymbol { A B } = 5 , \boldsymbol { A C } = 8$ ，则 等于\_\_\_BC

如图，点A 的坐标为(1,0)，点.C 的坐标为(2,4)，函数 $f ( x ) = x ^ { 2 }$ ，若在矩形 内随机ABCD取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

若函数 $f(x)=\begin{cases}-x+6, x\leq 2,\\3+\log_a x, x>2,\end{cases}$ （$a>0$ 且 $a\neq 1$）的值域是 $[4,+\infty)$，则实数 $a$ 的取值范围是__________．

一个二元码是由0和1组成的数字串 $x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$，其中 $x _ { k } \left( k = 1 , 2 , \cdots , n \right)$ 称为第 $k \overset { } { \ ! \perp } \vec { \mathbb { I } } \overset { } { \mathbb { I } } \overset { } { \mathcal { T } }$ 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）

已知某种二元码 $x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { 7 }$ 的码元满足如下校验方程组： $\left\{ \begin{array} { l l } { { x _ { 4 } } \oplus { x _ { 5 } } \oplus { x _ { 6 } } \oplus { x _ { 7 } } = 0 , } \\ { { x _ { 2 } } \oplus { x _ { 3 } } \oplus { x _ { 6 } } \oplus { x _ { 7 } } = 0 , } \\ { { x _ { 1 } } \oplus { x _ { 3 } } \oplus { x _ { 5 } } \oplus { x _ { 7 } } = 0 , } \end{array} \right.$

其中运算 定义为：Å $0 \oplus 0 = 0 , 0 \oplus 1 = 1 , 1 \oplus 0 = 1 , 1 \oplus 1 = 0$

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程k组可判定 等于k

某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望

如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形， $\mathrm { A B } ^ { \wedge }$ 平面 BEC， $\mathrm { B E } ^ { \wedge } \ \mathrm { E C }$，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC 的中点.

(Ⅰ)求证： $G F / /$ 平面；ADE

(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值

．已知椭圆E： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 过点 $( 0 , { \sqrt { 2 } } )$，且离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设直线 $x = m y - 1$ 交椭圆 E 于 A，B 两点， m R Î，

判断点 $\operatorname { G } ( - { \frac { 9 } { 4 } } , 0 )$ 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由

已知函数 $\operatorname { f } ( x ) = \ln ( 1 + x ) , g ( x ) = k x , ( \mathbf { k } \hat { \textbf { l } } R )$

(Ⅰ)证明：当 $x > 0$ 时， $\mathbf { f } \left( x \right) < x$

(Ⅱ)证明：当 时，存在k <1 $x _ { 0 } > 0$ ,使得对任意xÎ $( 0 , \ x _ { 0 } )$ ,恒有 $\mathrm { f } ( x ) > g ( x ) ;$

(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在 $t > 0$ ，对任意的 恒有 xÎ (0 ),，t $| \operatorname { f } ( x ) - g ( x ) | < x ^ { 2 }$

已知矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
（Ⅰ）求 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$；
（Ⅱ）求矩阵 $C$，使得 $AC=B$.