2015 地方卷 · 理 数学

$i$ 为虚数单位，$i^{607}$ 的共轭复数为

我国古代数学名著《九章算术》有＂米谷粒分＂题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为

已知 $(1+x)^{n}$ 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

设 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是

设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}, n \geq 3$ ．若 $p: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 成等比数列；
$q:\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)=\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}\right)^{2}$ ，则

已知符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{ll}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x<0 .\end{array} \quad f(x)\right.$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，$g(x)=f(x)-f(a x)(a>1)$ ，则

在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x, y$ ，记 $p_{1}$ 为事件＂$x+y \geq \frac{1}{2}$＂的概率，$p_{2}$ 为事件＂$|x-y| \leq \frac{1}{2}$＂的概率， $p_{3}$ 为事件＂$x y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，则

将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b(a \neq b)$ 同时增加 $m(m>0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x, y \in \mathbf{Z}\right\}, B=\{(x, y)| | x|\leq 2,|y| \leq 2, x, y \in \mathbf{Z}\}$ ，定义集合

$A \oplus B=\left\{\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \mid\left(x_{1}, y_{1}\right) \in A,\left(x_{2}, y_{2}\right) \in B\right\}$ ，则 $A \oplus B$ 中元素的个数为

设 $x \in \mathbf{R},[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若存在实数 $t$ ，使得 $[t]=1,\left[t^{2}\right]=2, \cdots,\left[t^{n}\right]=n$同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是

已知向量 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{A B},|\overrightarrow{O A}|=3$ ，则 $\overrightarrow{O A} \bullet \overrightarrow{O B}=$

函数 $f(x)=4 \cos ^{2} \frac{x}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2 \sin x-|\ln (x+1)|$ 的零点个数为 $\_\_\_\_$ ．

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ}$ 的方向上，行驶 600 m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度 $C D=$
$\_\_\_\_$ m．

如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．
（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于 $M, N$ 两点，下列三个结论：
①$\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{|M A|}{|M B|}$ ；
②$\frac{|N B|}{|N A|}-\frac{|M A|}{|M B|}=2$ ；
③$\frac{|N B|}{|N A|}+\frac{|M A|}{|M B|}=2 \sqrt{2}$ 。

其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有正确结论的序号）

（选修 4－1：几何证明选讲）

如图，$P A$ 是圆的切线，$A$ 为切点，$P B C$ 是圆的割线，且 $B C=3 P B$ ，则 $\frac{A B}{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

第 15 题图

（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 $x o y$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho(\sin \theta-3 \cos \theta)=0$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}, \\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 11 分）
某同学用＂五点法＂画函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（I）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f(x)$ 的解析式；
（II）将 $y=f(x)$ 图象上所有点向左平行移动 $\theta(\theta>0)$ 个单位长度，得到 $y=g(x)$ 的图象．若 $y=g(x)$ 图象的一个对称中心为 $\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$ ，求 $\theta$ 的最小值．

（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ 。已知 $b_{1}=a_{1}, b_{2}=2, q=d$ ， $S_{10}=100$ 。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）当 $d>1$ 时，记 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

（本小题满分 12 分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。
如图，在阳马 $P-A B C D$ 中，侧棱 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D=C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F \perp P B$ 交 $P B$于点 $F$ ，连接 $D E, D F, B D, B E$ ．
（I）证明：$P B \perp$ 平面 $D E F$ 。试判断四面体 $D B E F$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（II）若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $\frac{D C}{B C}$ 的值．

（本小题满分 12 分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A, B$ 两种奶制品．生产 1 吨 $A$ 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 $B$ 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的 2 倍，设备每天生产 $A, B$ 两种产品时间之和不超过 12 小时。假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$（单位：元）是一个随机变量。
（I）求 $Z$ 的分布列和均值；

（II）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率．
－【答案】（I）$Z$ 的分布列为：

$E(Z)=9708$ ；（ II ） 0.973 ．

（本小题满分 14 分）
一种作图工具如图1所示．$O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（ $D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$ 。以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
（I）求曲线 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O Q P$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第21题图1

第21题图1

第 $21 \stackrel{y}{\text { 题图 } 2}$

第21题图2

（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$b_{n}=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right), e$ 为自然对数的底数．
（I）求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^{x}$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（II）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} \cdots b_{n}}{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的公式，并给出证明；

（III）令 $c_{n}=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$，数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$，证明：$T_{n}<e S_{n}$．