2015 北京卷 数学

（5分）若集合 $A = \{ x \vert - 5 < x < 2 \}$ $B = \{ x \vert - 3 < x < 3 \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } = \mathrm { ~ ( ~ \qquad ~ ) ~ }$ A $\{ { \pmb { \times } } | - 3 < { \pmb { \times } } < 2 \}$ B $\{ { \pmb { \times } } | - 5 { < } { \bf x } { < } 2 \}$ C $\{ { \pmb { \times } } | - 3 < { \pmb { \times } } < 3 \}$ D $\{ { \pmb { \times } } | - 5 < { \pmb { \times } } < 3 \}$

（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A $( \textsf { x } - 1 ) 2 + ( \textsf { y } - 1 ) 2 { = } 1$ B $( \mathsf { x } + \mathsf { 1 } ) 2 + \mathsf { \Gamma } ( \mathsf { y } ^ { + } \mathsf { 1 } ) 2 { \mathsf { = } } 1$ C $( \mathsf { x } + \mathsf { 1 } ) 2 + \mathsf { \Gamma } ( \mathsf { y } ^ { + } 1 ) 2 { = } 2$ D $( { \bf { x } } - \mathrm { ~ \bf { 1 } ~ } ) { \bf { \Sigma } } ^ { 2 } + { \bf { \Sigma } } \left( { \bf { y } } - \mathrm { ~ \bf { 1 } ~ } \right) { \bf { \Sigma } } ^ { 2 } { = } 2$

（5分）下列函数中为偶函数的是（　　）A $y = x ^ { 2 } \sin x$ B $\mathsf { y } = \mathsf { x } ^ { 2 } \mathsf { c o s x }$ C $\mathsf { y } = \left| \mathsf { l n } \mathsf { x } \right|$ D $y = 2 - x$

（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（　　）

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>类别</td><td rowspan=1 colspan=1>人数</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>老年教师</td><td rowspan=1 colspan=1>900</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>中年教师</td><td rowspan=1 colspan=1>1800</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>青年教师</td><td rowspan=1 colspan=1>1600</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>合计</td><td rowspan=1 colspan=1>4300</td></tr></table>

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）

（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2

（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>加油时间</td><td rowspan=1 colspan=1>加油量（升）</td><td rowspan=1 colspan=1>加油时的累计里程（千米）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>2015年5月1日</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td><td rowspan=1 colspan=1>35000</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>2015年5月15日</td><td rowspan=1 colspan=1>48</td><td rowspan=1 colspan=1>35600</td></tr></table>

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）

（5 分）复数 i（1+i）的实部为　﹣1

$2^{-3}$，$\dfrac{1}{3^2}$，$\log_2 5$ 三个数中最大数的是______．

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\mathtt { a } = 3$ $b = { \sqrt { 6 } }$ $\angle A = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，则 $\angle B = \frac { \pi } { \underline { { { \bf \nabla } } } } _ { - }$

（5分）已知（2，0）是双曲线 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( b > 0 )$ 的一个焦点，则 $b = \underline { { { \sqrt { 3 } } } } _ { - }$

（5 分）如图， $\triangle A B C$ 及其内部的点组成的集合记为 D， $\textsf { \textsf { P } } ( \textsf { x } , \textsf { y } )$ 为 D 中任意一点，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最大值为　7

（5分）高三年级267 位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学

（14分）已知椭圆C： $x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = 3$ ，过点D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE 与直线x=3交于点 M

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若AB垂直于x 轴，求直线BM的斜率；

（3）试判断直线BM 与直线DE的位置关系，并说明理由