2015 地方卷 · 文 数学

已知集合 $A=\{x \mid 2<x<4\}, B=\{x \mid(x-1)(x-3)<0\}$ ，则 $A \cap B=()$

若复数Z满足
$1zi-i=$，其中i为虚数单位，则$Z=$

设 $a=0.6^{0.6}, b=0.6^{1.5}, c=1.5^{0.6}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（ ）

要得到函数 $y=\sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需要将函数 $y=\sin 4 x$ 的图象（ ）

设 $m \in R$ ，命题＂若 $m>0$ ，则方程 $x^{2}+x-m=0$ 有实根＂的逆否命题是（）

为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位：$\left.{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：

（1）甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；
（2）甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；
（3）甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
（4）甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（

在区间 $[0,2]$ 上随机地取一个数 $x$ ，则事件＂$-1 \leq \log _{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right) \leq 1$＂发生的概率为（ ）

若函数 $f(x)=\frac{2^{x}+1}{2^{x}-a}$ 是奇函数，则使 $f(x)>3$ 成立的 $x$ 的取值范围为

已知等腰直角三角形的直角边的长为 $\sqrt{2}$，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x-b, x<1 \\ 2^{x}, x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f\left(f\left(\frac{5}{6}\right)\right)=4$ ，则 $b=$

执行右边的程序框图，若输入的 $x$ 的值为 1 ，则输出的 $y$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y-x \leq 1 \\ x+y \leq 3 \\ y \geq 1\end{array}\right.$ ，则 $z=x+3 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

过点 $P(1, \sqrt{3})$ 作圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则 $P A \cdot P B=$ $\_\_\_\_$ ．

定义运算＂$\otimes$＂：$x \otimes y=\frac{x^{2}-y^{2}}{x y}(x, y \in R, x y \neq 0)$ ．当 $x>0, y>0$ 时， $x \otimes y+(2 y) \otimes x$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

过双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 $C$ 于点 $P$ ．若点 $P$ 的横坐标为 $2 a$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为正数的等差数列，数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} \bullet a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2 n+1}$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\left(a_{n}+1\right) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

（本小题满分 13 分）

设函数 $f(x)=(\mathrm{x}+\mathrm{a}) \ln \mathrm{x}, g(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}$ ．已知曲线 $y=f(x)$

在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $2 \mathrm{x}-y=0$ 平行．
（I）求 $a$ 的值；
（II）是否存在自然数 $k$ ，使得方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(k, k+1)$ 内存在唯一的根？如果存在 ，求出 $k$ ；如果不存在，请说明理由；
（III）设函数 $m(x)=\min \{f(x), g(x)\}$（ $\min \{p, q\}$ 表示，$p, q$ 中的较小值），求 $m(x)$的最大值．