2015 浙江卷 · 文 数学

（5 分）（2015•浙江）已知集合 $P=\left\{x \mid x^{2}-2 x \geq 3\right\}, Q=\{x \mid 2<x<4\}$ ，则 $P \cap Q=$
A $[3,4)$
B $(2,3]$
C $(-1,2)$
D $(-1,3]$

（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是

主视图

俯视图

侧视图

A $8 \mathrm{~cm}^{3}$
B $12 \mathrm{~cm}^{3}$
C $\frac{32}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
D $\frac{40}{3} \mathrm{~cm}^{3}$

（5分）（2015•浙江）设 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 是实数，则＂ $\mathrm{a}+\mathrm{b}>0$＂是＂ $\mathrm{ab}>0$＂的（）
A 充分不必要
B 必要不充 pts

- 条件
- 条件
C 充分必要条
D 既不充分也
- 件
- 不必要条件

（5 分）（2015•浙江）设 $\alpha$，$\beta$ 是两个不同的平面，$l$，$m$ 是两条不同的直线，且 $l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，（　　）

（5 分）（2015•浙江）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right) \cos \mathrm{x}(-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi$ 且 $\mathrm{x} \neq 0)$ 的图象可能为
A


C

（5 分）（2015 •浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同。已知三个房间的粉刷面积（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）分别为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ ，且 $\mathrm{x}<\mathrm{y}<$ z ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元 $/ \mathrm{m}^{2}$ ）分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，且 $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}$ 。在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）
A $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}$
B $a z+b y+c x$
C $a y+b z+c x$
D $a y+b x+c z$

（5 分）（2015•浙江）如图，斜线段 AB 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ， B 为斜足，平面 $\alpha$ 上的动点 P 满足 $\angle \mathrm{PAB}=30^{\circ}$ ，则点 P 的轨迹是

A 直线
B 抛物线
C 椭圆
D 双曲线的一 － － －支

（5 分）（2015•浙江）设实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{t}$ 满足 $|\mathrm{a}+1|=|\sin \mathrm{b}|=\mathrm{t}$ ．
A 若 t 确定，则
B 若 t 确定，则

- $\mathrm{b}^{2}$ 唯一确定
- $\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{a}$ 唯一确
定
C 若 t 确定，则
D 若 t 确定，则
- $\sin \frac{\mathrm{b}}{2}$ 唯一确
- $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{a}$ 唯一确
定
定

计算：$\log_2\frac{\sqrt{2}}{2}=$____，$2^{\log_2 3+\log_4 3}=$____．

（6 分）（2015 •浙江）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，公差 d 不为零，若 $\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{7}$ 成等比数列，且 $2 a_{1}+a_{2}=1$ ，则 $a_{1}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{2}{3}$ ，$d=$ $\_\_\_\_$ $-1$。
$\begin{array}{ll}\text { 考点：} & \text { 等比数列的性质。 } \\ \text { 专题：} & \text { 等差数列与等比数列．} \\ \text { 分析：} & \text { 运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得 } d=-\frac{3}{2} a_{1}, \text { 再由 } \\ & \text { 条件 } 2 a_{1}+a_{2}=1, \text { 运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．} \\ & \text { 解：由 } a_{2}, a_{3}, a_{7} \text { 成等比数列，} \\ & \text { 则 } a_{3}{ }^{2}=a_{2} a_{7}, \\ & \text { 即有 }\left(a_{1}+2 d\right){ }^{2}=\left(a_{1}+d\right)\left(a_{1}+6 d\right), \\ & \text { 即 } 2 d^{2}+3 a_{1} d=0, \\ & \text { 由公差 } d \text { 不为零，} \\ & \text { 则 } d=-\frac{3}{2} a_{1}, \\ & \text { 又 } 2 a_{1}+a_{2}=1, \\ & \text { 即有 } 2 a_{1}+a_{1}+d=1, \\ & \text { 即 } 3 a_{1}-\frac{3}{2} a_{1}=1, \\ & \text { 解得 } a_{1}=\frac{2}{3}, d=-1 . \\ & \text { 故答案为：} \frac{2}{3},-1 . \\ & \text { 本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 } \\ & \text { 等差数列和等比数列的性质的合理运用．}\end{array}$
考点：
等比数列的性质。
专题：
等差数列与等比数列。
运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得 $d=-\frac{3}{2} a_{1}$ ，再由条件 $2 a_{1}+a_{2}=1$ ，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差。

（6 分）（2015 •浙江）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin ^{2} \mathrm{x}+\sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}+1$ 的最小正周期是 $\_\_\_\_$ $\pi$ ，最小值是＿ $\frac{3-\sqrt{2}}{2}$ ．

（6 分）（2015•浙江）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant 1 \\ x+\frac{6}{x}-6, x>1\end{array}\right.$ ，则 $f(f(-2))=-\frac{1}{2}$ ， $f(x)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{6}-6$ ．

（4分）（2015•浙江）已知 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}, \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}$ 是平面向量，且 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}=\frac{1}{2}$ ，若平衡向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{b}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}=1$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$ $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

（4分）（2015 •浙江）已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2} \leq 1$ ，则 $|2 x+y-4|+|6-x-3 y|$ 的最大值是 15 ．

（4分）（2015•浙江）椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F(c, 0)$ 关于直线 $y=\frac{b}{c} x$ 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$－

（14分）（2015•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\mathrm{A}\right)=2$ ．
（I）求 $\frac{\sin 2 \mathrm{~A}}{\sin 2 \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}}$ 的值；
（II）若 $B=\frac{\pi}{4}, a=3$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

Topic: 二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．
专题：解三角形．
分析：（I）由两角和与差的正切函数公式及已知可得 $\tan \mathrm{A}$ ，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解。
（II）由 $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}, \mathrm{~A} \in(0, \pi)$ ，可得 $\sin \mathrm{A}, \cos \mathrm{A}$ ．又由正弦定理可得 b ，由 $\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(A+\frac{\pi}{4}\right)$ ，可得 $\sin C$ ，利用三角形面积公式即可得解．

（15 分）（2015•浙江）已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足 $a_1=2$，$b_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$（$n\in\mathbb{N}^*$），$b_1+\dfrac{1}{2}b_2+\dfrac{1}{3}b_3+\cdots+\dfrac{1}{n}b_n=b_{n+1}-1$（$n\in\mathbb{N}^*$）
（Ⅰ）求 $a_n$ 与 $b_n$；
（Ⅱ）记数列$\{a_nb_n\}$的前 $n$ 项和为 $T_n$，求 $T_n$．

（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$ ， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{~A}_{1}$ 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 是 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中点。
（ I ）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BC}$ ；
（II）求直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 和平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 所成的角的正弦值．

[^0]

（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{y}=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}$ ，圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=1$ ，过点 P $(\mathrm{t}, 0)(\mathrm{t}>0)$ 作不过原点 O 的直线 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 分别与抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 和圆 $\mathrm{C}_{2}$ 相切， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为切点． （I）求点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 的坐标；

（II）求 $\triangle \mathrm{PAB}$ 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．

Topic: 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）由直线 PA 的斜率存在，设切线 PA 的方程为： $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-\mathrm{t})(\mathrm{k} \neq 0)$ ，与抛物线方程联立化为 $x^{2}-4 k x+4 k t=0$ ，利用 $\triangle=0$ ，解得 $k=t$ ，可得 $A$ 坐标．圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的圆心 $\mathrm{D}(0,1)$ ，设 $\mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，由题意可知：点 B 与 O 关于直线 PD得出，可得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{y_{0}}{2}=-\frac{x_{0}}{2 t}+1 \\ x_{0} t-y_{0}=0\end{array}\right.$ ，解得 $B$ 坐标。
（II）由（I）可得：$\left(t^{2}-1\right) x-2 t y+2 t=0$ ，可得点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$ ，又 $|A B|=\sqrt{\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}-2 t\right)^{2}+\left(\frac{2 t^{2}}{1+t^{2}}-t^{2}\right)^{2}}$ ．即可得出 $S_{\triangle P A B}= \frac{1}{2}|\mathrm{AB}| \cdot \mathrm{d}$ ．