2017 江苏卷 数学

（5 分）已知集合 $A=\{1,2\}, B=\left\{a, a^{2}+3\right\}$ ．若 $A \cap B=\{1\}$ ，则实数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）已知复数 $z=(1+i)(1+2 i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的模是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200 ， 400，300， 100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 $\_\_\_\_$件。

（5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为 $\frac{1}{16}$ ，则输出 y 的值是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）若 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{6}$ ．则 $\tan \alpha=$ $\_\_\_\_$。

（5 分）如图，在圆柱 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 的体积为 $\mathrm{V}_{1}$ ，球 O 的体积为 $\mathrm{V}_{2}$ ，则 $\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）记函数 $f(x)=\sqrt{6+x-x^{2}}$ 定义域为 D．在区间 $[-4,5]$ 上随机取一个数

$x$ ，则 $x \in D$ 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 $P, Q$ ，其焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，则四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ 的面积是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的各项均为实数，其前 n 项为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{S}_{3}=\frac{7}{4}, \mathrm{~S}_{6}=\frac{63}{4}$ ，则 $\mathrm{a}_{8}=$ $\_\_\_\_$。

（5分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元／次，一年的总存储费用为 4 x 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 $\_\_\_\_$。

（5 分）已知函数 $f(x)=x^{3}-2 x+e^{x}-\frac{1}{e^{x}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．若 $f (a-1)+f\left(2 a^{2}\right) \leqslant 0$ ．则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（5分）如图，在同一个平面内，向量 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的模分别为 $1,1, \sqrt{2}, \overrightarrow{\mathrm{OA}}$与 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\tan \alpha=7, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+n \overrightarrow{\mathrm{OB}}(m, n \in$ R），则 $m+n=$ $\_\_\_\_$ ．

（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， $\mathrm{A}(-12,0), \mathrm{B}(0,6)$ ，点 P 在圆 O ： $x^{2}+y^{2}=50$ 上．若 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} \leqslant 20$ ，则点 P 的横坐标的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（5 分）设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 1 的函数，在区间 $[0,1)$ 上，$f(x) =\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \in D \\ x, & x \notin D\end{array}\right.$ ，其中集合 $D=\left\{x \left\lvert\, x=\frac{n-1}{n}\right., n \in N^{*}\right\}$ ，则方程 $f(x)-\lg x=0$ 的解的个数是 $\_\_\_\_$。

二．

（14分）如图，在三棱锥 $A-B C D$ 中，$A B \perp A D, B C \perp B D$ ，平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D$ ，点 $E , F$（ $E$ 与 $A , D$ 不重合）分别在棱 $A D, B D$ 上，且 $E F \perp A D$ ．

求证：（1）$E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）$A D \perp A C$ ．

（14 分）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆 E上，且位于第一象限，过点 $F_{1}$ 作直线 $P F_{1}$ 的垂线 $I_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线 $I_{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．

（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I 和正四棱台形玻璃容器 II的高均为 32 cm ，容器 I 的底面对角线 AC 的长为 $10 \sqrt{7} \mathrm{~cm}$ ，容器 II 的两底面对角线 $E G$ ，$E_{1} G_{1}$ 的长分别为 14 cm 和 62 cm ．分别在容器 I 和容器 II 中注入水，水深均为 12 cm ．现有一根玻璃棒I，其长度为 40 cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将 I 放在容器 I 中，I 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 $\mathrm{CC}_{1}$ 上，求 I没入水中部分的长度；
（2）将 I 放在容器 II 中，I 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 $\mathrm{GG}_{1}$ 上，求 I 没入水中部分的长度．

容器 I

容器II

（16 分）对于给定的正整数 $k$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n ~(n>k) ~$ 总成立，则称数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（k）数列＂．
（1）证明：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$p$③数列＂；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既是＂$P(2)$ 数列＂，又是＂$P(3)$ 数列＂，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 $\mathrm{C}, \mathrm{AP} \perp \mathrm{PC}, \mathrm{P}$ 为垂足．
求证：（1）$\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{CAB}$ ；
②$A C^{2}=A P \cdot A B$ ．

已知矩阵 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ．
（1）求 $A B$ ；
（2）若曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在矩阵 $A B$ 对应的变换作用下得到另一曲线 $C_{2}$ ，求 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=-8+t \\ y=\frac{t}{2}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 s^{2} \\ y=2 \sqrt{2} s\end{array}\right.$（ $s$ 为参数）．设 $P$ 为曲线 $C$ 上的动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最小值．

已知 $a, b, c, d$ 为实数，且 $a^{2}+b^{2}=4, c^{2}+d^{2}=16$ ，证明 $a c+b d \leqslant 8$ ．

【必做题】

如图，在平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B=A D=2$ ， $\mathrm{AA}_{1}=\sqrt{3}, \quad \angle \mathrm{BAD}=120^{\circ}$.

（1）求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $B-A_{1} D-A$ 的正弦值．