2020 天津卷 数学

3．函数 $y=\frac{4 x}{x^{2}+1}$ 的图象大致为

4．从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： mm ），将所得数据分为 9 组：
$[5.31,5.33),[5.33,5.35), \cdots,[5.45,5.47],[5.47,5.49]$ ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间［ $5.43,5.47$ ）内的个数为（ ）

5．若棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

6．设 $a=3^{0.7}, b=\left(\frac{1}{3}\right)^{-0.8}, c=\log _{0.7} 0.8$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

7．设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为 $l$ ．若 $C$ 的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与 $l$ 垂直，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）

8．已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ．给出下列结论：
①$f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ；
②$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是 $f(x)$ 的最大值；

③把函数 $y=\sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y=f(x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是

9．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3}, & x \ldots 0, \\ -x, & x<0 .\end{array}\right.$ 若函数 $g(x)=f(x)-\left|k x^{2}-2 x\right| \quad(k \in \mathbf{R})$ 恰有 4 个零点，则 $k$ 的取值范围是（）

11．在 $\left(x+\frac{2}{x^{2}}\right)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知直线 $x-\sqrt{3} y+8=0$ 和圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $|A B|=6$ ，则 $r$ 的值为 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 $\_\_\_\_$ ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 $\_\_\_\_$。

14．已知 $a>0, b>0$ ，且 $a b=1$ ，则 $\frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 b}+\frac{8}{a+b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

15．如图，在四边形 $A B C D$ 中，$\angle B=60^{\circ}, A B=3, B C=6$ ，且 $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=-\frac{3}{2}$ ，则实

数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ，若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $|\overrightarrow{M N}|=1$ ，则 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

16．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a=2 \sqrt{2}, b=5, c=\sqrt{13}$ ．
（I）求角 $C$ 的大小；
（II）求 $\sin A$ 的值；
（III）求 $\sin \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值．

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,-3)$ ，右焦点为 $F$ ，且 $|O A|=|O F|$ ，其中 $O$ 为原点．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点 $C$ 满足 $3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$ ，点 $B$ 在椭圆上（ $B$ 异于椭圆的顶点），直线 $A B$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，且 $P$ 为线段 $A B$ 的中点．求直线 $A B$ 的方程．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{1}=b_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right), b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：$S_{n} S_{n+2}<S_{n+1}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ；
（III）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}, & n \text { 为奇数，} \\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}, & n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．