三角形面积公式　·　历年高考数学真题与解析

16．在 $\triangle A B C$ 中，$a=7, A$ 为钝角， $\sin 2 B=\frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．
（1）求 $\angle A$ ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\triangle A B C$ 的面积．
①$b=7$ ；
② $\cos B=\frac{13}{14}$ ；
③$c \sin A=\frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分。

11．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为＂三斜求积＂，它填补了我国传统数学的一个空白。如果把这个方法写成公式，就是 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^{2} a^{2}-\left(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$ ，其中 $a, b, c$ 是三角形的三边，$S$ 是三角形的面积。设某三角形的三边 $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, c=2$ ，则该三角形的面积 $S=$ $\_\_\_\_$ ．

18．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，已知 $S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin B=\frac{1}{3}$ ．
（1）求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\sin A \sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$ 。

11.

我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别是 3 ， 4 ，记大正方形的面积为 $S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

10．已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球 $O$ 的球面上．若球 $O$ 的表面积为 16 $\pi$ ，则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（ ）

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示。 $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $A B$ 所在圆的圆心 ,$A$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $A G$ 的切点，$B$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $B C$ 的切点，四边形 $D E F G$ 为矩形，$B C \perp D G$ ，垂足为 $C$ ，

$\tan \angle O D C=\frac{3}{5}, B H / / D G, E F=12 \mathrm{~cm}, D E=2 \mathrm{~cm}, A$ 到直线 $D E$ 和 $E F$ 的距离均为 7 cm ，圆孔半径为 1 cm ，则图中阴影部分的面积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{2}$ ．

11．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{4}$ ，则 $\mathrm{C}=(\quad)$

16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，SA 与圆锥底面所成角为 $45^{\circ}$ ，若 $\triangle S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为 $40 \sqrt{2} \pi$

8．（5分）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A$ ，$B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是（）

9．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$ ，则 $C=(\quad)$

11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的＂割圆术＂可以估算圆周率 $\pi$ ，理论上能把 $\pi$ 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了＂割圆术＂，将 $\pi$ 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，＂割圆术＂的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 $\mathrm{S}_{6}, \mathrm{~S}_{6}=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

6．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{\mathrm{A}_{n}\right\} ,\left\{\mathrm{~B}_{n}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|, A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点P与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则（）

11．（5分）在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $A B \perp B C$ ， $A B=6, B C=8, A A_{1}=3$ ，则 $V$ 的最大值是（）

16．（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$
（II）若 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，求角 A 的大小．

8．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{A_{n}\right\} ,\left\{B_{n}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|$ ， $A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点 $P$ 与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则

9．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{B}=\frac{\pi}{4}, \mathrm{BC}$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} \mathrm{BC}$ ，则 $\sin \mathrm{A}=$（）

10．已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $\sin 2 A+\sin (A-B+C)=\sin (C-A-B)+\frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，记 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

4．（5分）钝角三角形 ABC 的面积是 $\frac{1}{2}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{AC}=$（）

12．（5分）已知点 $A(-1,0), B(1,0), C(0,1)$ ，直线 $y=a x+b(a>0$ ）将 $\triangle \mathrm{ABC}$ 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是（）

4．（5分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b=2, B=\frac{\pi}{6}, C= \frac{\pi}{4}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为

18．（本题满分 14 分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A=\frac{2}{3}, \quad \sin B=\sqrt{5} \cos C$ ．
（I）求 $\tan C$ 的值；
（II）若 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．