2019 天津卷 · 理 数学

设集合 $A=\{-1,1,2,3,5\}, B=\{2,3,4\}, C=\{x \in \mathbf{R} \mid 1 \leq x<3\}$ ，则 $(A \cap C) \cup B=$

设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \leq 0, \\ x-y+2 \geq 0, \\ x \geq-1, \\ y \geq-1,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=-4 x+y$ 的最大值为

设 $x \in \mathbf{R}$ ，则＂$x^{2}-5 x<0$＂是＂$|x-1|<1$＂的

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$ 的值为

已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $|A B|=4|O F|$（ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为

已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,|\varphi|<\pi)$ 是奇函数，将 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g(x)$ 。若 $g(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ，且 $g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则 $f\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=$

$\left(2 x-\frac{1}{8 x^{3}}\right)^{8}$ 的展开式中的常数项为 $\_\_\_\_$ ．

已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 $\_\_\_\_$ ．

设 $a \in \mathbf{R}$ ，直线 $a x-y+2=0$ 和圆 $\left\{\begin{array}{l}x=2+2 \cos \theta, \\ y=1+2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）相切，则 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

设 $x>0, y>0, x+2 y=5$ ，则 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

在四边形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, A B=2 \sqrt{3}, A D=5, \angle A=30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上 ，且 $A E=B E$ ，则 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$ ．

三．

（本小题满分 13 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b+c=2 a, 3 c \sin B=4 a \sin C$ ．

（I）求 $\cos B$ 的值；
（II）求 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．

（本小题满分 13 分）
如图，$A E \perp$ 平面 $A B C D, C F / / A E, A D / / B C, A D \perp A B, A B=A D=1, A E=B C=2$ ．
（I）求证：$B F / /$ 平面 $A D E$ ；
（II）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；
（III）若二面角 $E-B D-F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长．

（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ．已知随圆的短轴长为 4 ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $|O N|=|O F|$（ $O$ 为原点），且 $O P \perp M N$ ，求直线 $P B$ 的斜率．

（本小题满分 14 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列．已知 $a_{1}=4, b_{1}=6, b_{2}=2 a_{2}-2, b_{3}=2 a_{3}+4$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{1}=1, c_{n}=\left\{\begin{array}{l}1, \quad 2^{k}<n<2^{k+1} \\ b_{k}, n=2^{k},\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（i）求数列 $\left\{a_{2^{n}}\left(c_{2^{n}}-1\right)\right\}$ 的通项公式；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．

（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos x, g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）当 $x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，证明 $f(x)+g(x)\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \geq 0$ ；
（III）设 $x_{n}$ 为函数 $u(x)=f(x)-1$ 在区间 $\left(2 n \pi+\frac{\pi}{4}, 2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)$ 内的零点，其中 $n \in \mathbf{N}$ ，证明 $2 n \pi+\frac{\pi}{2}-x_{n}<\frac{\mathrm{e}^{-2 n \pi}}{\sin x_{0}-\cos x_{0}}$.