（12分）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】KB：双曲线的标准方程； KC ：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】①由 2 个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的 2 个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角 ，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
②利用第①的结论，设出双曲线的方程，将 AB 方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．

【解答】解：（1）设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ，由 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向， ∴ 渐近线的倾斜角范围为 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ ，
∴ 渐近线斜率为：$k_{1}=\frac{b}{a}<1 \therefore \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=e^{2}-1<1, \quad \therefore 1$\because|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| ,|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| ,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$ 成等差数列，$\therefore|\mathrm{OB}|+|\mathrm{OA}|=2|\mathrm{AB}|$ ，
$\therefore|\mathrm{AB}|^{2}=(|\mathrm{OB}|-|\mathrm{OA}|)(|\mathrm{OB}|+|\mathrm{OA}|)=(|\mathrm{OB}|-|\mathrm{OA}|) \cdot 2|\mathrm{AB}|$ ，
$\therefore|A B|=2(|O B|-|O A|) \therefore\left\{\begin{array}{l}\left.|O B|-|O A|=\frac{1}{2} \right\rvert\, A B \\ |O A|+|O B|=2 \mid A B\end{array}\right.$ ，
$\therefore|O A|=\frac{3}{4}|A B| \therefore|O A|^{2}=\frac{9}{16}|A B|^{2}$ ，

可得：$\frac{|\mathrm{AB}|}{|\mathrm{OA}|}=\frac{4}{3}$ ，而在直角三角形 OAB 中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即 $\tan \angle A O B=\frac{4}{3}$ ，
而由对称性可知： OA 的斜率为 $\mathrm{k}=\tan \frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB}$ ，
$\therefore \frac{2 k}{1-k^{2}}=\frac{4}{3}, \quad \therefore 2 k^{2}+3 k-2=0, \quad \therefore k=\frac{1}{2}(k=-2$ 舍去）；
$\therefore \frac{b}{a}=\frac{1}{2} \therefore \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}, \quad \therefore e^{2}=\frac{5}{4}, \quad \therefore e=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
②由第①知，$a=2 b$ ，可设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{4 b^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \therefore c=\sqrt{5} b$ ．
由于 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \angle A O B$ ，故 $A B$ 的斜率为 $\tan \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \angle A O B\right. )=-\cot \left(\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB}\right)=-2$,
$\therefore \mathrm{AB}$ 的直线方程为
$y=-2(x-\sqrt{5} b)$ ，代入双曲线方程得： $15 x^{2}-32 \sqrt{5} b x+84 b^{2}=0$ ，
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{32 \sqrt{5} b}{15}, x_{1} \bullet x_{2}=\frac{84 b^{2}}{15}$ ，
$\therefore 4=\sqrt{1+4} \cdot \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}\right)^{2}-4 \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}}=\sqrt{5} \cdot \sqrt{\left(\frac{32 \sqrt{5} \mathrm{~b}}{15}\right)^{2}-4 \cdot \frac{84 \mathrm{~b}^{2}}{15}}, ~$ 即 $16=\frac{32^{2} \cdot \mathrm{~b}^{2}}{9}-11$
$2 b^{2}$,
$\therefore b^{2}=9$ ，所求双曲线方程为：$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据 $\frac{|\mathrm{AB}|}{|\mathrm{OA}|}=\frac{4}{3}$ ，联想到对应的是 2 渐近线的夹角的正切值，属于中档题．