2009 全国高考数学 2009_旧全国 II 卷 (2009·理) 第 22 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

22．（12分）设函数 $f(x)=x^{2}+a \ln (1+x)$ 有两个极值点 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1}<x_{2}$ ， （I）求 a 的取值范围，并讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性；
（II）证明： $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)>\frac{1-2 \ln 2}{4}$ ．

Accepted Answer

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6 ：不等式的证明． 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题． 【分析】①先确定函数的定义域然后求导数 $f^{\prime}(x)$ ，令 $g(x)=2 x^{2}+2 x+a$ ，由题意知 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $g(x)=0$ 的两个均大于 -1 的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式 $f^{\prime}(x)>0$ 和 $f^{\prime}(x) -1)$ 令 $g(x)=2 x^{2}+2 x+a$ ，其对称轴为 $x=-\frac{1}{2}$ ． 由题意知 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $g(x)=0$ 的两个均大于 -1 的不相等的实根， 其充要条件为 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=4-8 a>0 \ g(-1)=a>0\end{array}ight.$ ，得 $0 0, 	herefore f(x)$ 在 $\left(-1, x_{1}ight)$ 内为增函数； ②当 $x \in\left(x_{1}, x_{2}ight)$ 时，$f^{\prime}(x) 0, 	herefore f(x)$ 在（ $x_{2},+\infty$ ）内为增函数； （II）由（I） $\mathrm{g}(0)=\mathrm{a}>0, 	herefore-\frac{1}{2} 0, 	herefore h(x)$ 在 $\left[-\frac{1}{2}, 0ight)$ 单调递增， 当 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 0ight)$ 时，$h(x)>h\left(-\frac{1}{2}ight)=\frac{1-2 l n 2}{4}$ 故 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}ight)=\mathrm{h}\left(\mathrm{x}_{2}ight)>\frac{1-2 \mathrm{In} 2}{4}$ ． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．

2009 高考数学第 22 题答案解析

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