（12分）设函数 f(x)=x^ 2 +a ln (1+x…——2009 高考数学第 22 题答案解析

②当 $x \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, \therefore f(x)$ 在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 内为减函数；
③当 $x \in\left(x_{2},+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, \therefore f(x)$ 在（ $x_{2},+\infty$ ）内为增函数；
（II）由（I） $\mathrm{g}(0)=\mathrm{a}>0, \therefore-\frac{1}{2}<\mathrm{x}_{2}<0, \mathrm{a}=-\left(2 \mathrm{x}^{2}{ }_{2}+2 \mathrm{x}_{2}\right)$
$\therefore \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{2}{ }^{2}+\mathrm{a} \ln \left(1+\mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{2}{ }^{2}-\left(2 \mathrm{x}^{2}{ }_{2}+2 \mathrm{x}_{2}\right) \ln \left(1+\mathrm{x}_{2}\right)$
设 $h(x)=x^{2}-\left(2 x^{2}+2 x\right) \ln (1+x),\left(-\frac{1}{2}则 $h^{\prime}(x)=2 x-2(2 x+1) \ln (1+x)-2 x=-2(2 x+1) \ln (1+x)$
当 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ 时，$h^{\prime}(x)>0, \therefore h(x)$ 在 $\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 单调递增，
当 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ 时，$h(x)>h\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1-2 l n 2}{4}$
故 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{x}_{2}\right)>\frac{1-2 \mathrm{In} 2}{4}$ ．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．