2008 全国 I 卷（旧） 数学

（5分）函数 $\mathbf { y } { = } \sqrt { \mathbf { x } \left( \mathbf { x } { - } 1 \right) } + \sqrt { \mathbf { x } }$ 的定义域为（ ）A $\{ \mathbf { x } | \mathbf { x } { \ge } 0 \}$ B $\{ \mathbf { x } | \mathbf { x } \ge 1 \}$ C $\{ \mathbf { \boldsymbol { x } } | \mathbf { \boldsymbol { x } } { \geq } 1 \} \cup \{ \mathbf { \boldsymbol { 0 } } \}$ D $\{ { \bf x } | 0 { \leq } { \bf x } { \leq } 1 \}$

（5分）在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow { A B } = \overrightarrow { c } , \overrightarrow { A C } = \overrightarrow { b } .$ ．若点D满足 $\overrightarrow { B D } = 2 \overrightarrow { D C }$ ，则 $\overrightarrow { \mathrm { A D } } =$ ）A $\frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { b } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { c }$ B $\frac { 5 } { 3 } \overrightarrow { \circ } - \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { \mathrm { b } }$ C $\frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { b } - \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { c }$ D $\frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { b } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { \mathrm { c } }$

（5分）设a∈R，且（a+i）²i为正实数，则$a=$（　　）

（5分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 2 } + a _ { 4 } = 4 , ~ \mathsf { a } _ { 3 } + \mathsf { a } _ { 5 } = 1 0$ ，则它的前10项的和 $\mathsf { I S } _ { 1 0 } \mathrm { = }$ （ ）

（5分）若函数y=f（x）的图象与函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = \ln { \sqrt { \mathbf { x } } } + 1$ 的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　）A ${ \tt e } ^ { 2 { \tt x } \mathrm { ~ - ~ } 2 }$ B． $\mathsf { e } ^ { 2 \mathsf { x } }$ C ${ \mathsf { e } } ^ { 2 \mathsf { x } + 1 }$ D ${ \mathsf { e } } ^ { 2 \mathbf { x } + 2 }$

（5分）设奇函数f（x）在 $( 0 , \ + \infty )$ 上为增函数，且f（1）=0，则不等式$\frac { \underline { { \hat { \mathbf { f } } } } ( \mathbf { x } ) - \underline { { \hat { \mathbf { f } } } } ( - \mathbf { x } ) } { \mathbf { x } } < 0$ 的解集为（　　）

A $\left( ~ - ~ 1 , ~ 0 \right) \cup \left( ~ 1 , ~ + \infty \right)$ B $( \mathbf { \Sigma } - \infty , \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } _ { 1 } ) \cup \mathbf { \Sigma } ( 0 , \mathbf { \Sigma } _ { 1 } )$ C $\left( \mathbf { \Sigma } - \infty , \mathbf { \Sigma } - \mathbf { 1 } \right) \cup \left( \mathbf { 1 } , \mathbf { \Sigma } + \infty \right)$ D $( \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } 1 , \mathbf { \Sigma } 0 ) \cup \mathbf { \Sigma } ( 0 , \mathbf { \Sigma } 1 )$

（5分）若直线 $\frac { x } { a } + \frac { y } { b } = 1$ 与圆 $\mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { y } ^ { 2 } = 1$ 有公共点，则（A $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \leq 1$ B $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq 1$ C $\frac { 1 } { { \mathsf { a } } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { { \mathsf { b } } ^ { 2 } } \lneq 1$ D $\frac { 1 } { { \mathsf { a } } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { { \mathsf { b } } ^ { 2 } } \gg 1$

（5分）已知三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长都相等， $\mathsf { A } _ { 1 }$ 在底面ABC内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）

A $\frac 1 3$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ D $\frac { 2 } { 3 }$

（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

（5分）已知抛物线 $\mathsf { y } = \mathsf { a } \mathsf { x } ^ { 2 } - 1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2

（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的 余弦值为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 $\frac { 1 } { 6 } -$

（12分）四棱锥 $\mathsf { A } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { B C D E }$ 中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2$C D = { \sqrt { 2 } } , A B = A C$

（Ⅰ）证明： $\mathsf { A D \bot C E }$

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小

（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望