2008 全国 I 卷（旧） 数学

（5分）函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = { \sqrt { 1 - \mathbf { x } } } ^ { + } { \sqrt { \mathbf { x } } }$ 的定义域为（　　）A $\{ \mathbf { x } | \mathbf { x } \mathbf { \leq } 1 \}$ B $\{ \mathbf { x } | \mathbf { x } { \ge } 0 \}$ C $\{ { \pmb x } | { \pmb x } { \geq } 1 \not \equiv \} _ { { \pmb x } \leq { 0 } } \}$ D $\{ { \bf x } | 0 { \leq } { \bf x } { \leq } 1 \}$

（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（　　）

A

B

D．

（5分） $( 1 + \frac { \tt { x } } { 2 } )$ ⁵的展开式中x²的系数（ ） A．10 B．5 C $\frac { 5 } { 2 }$ D．1

（5分） $y = ( \sin x - \cos x ) ^ { 2 } - 1$ 是（　　）

（5分）已知等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 1 } + a _ { 2 } = 3 , ~ \mathsf { a } _ { 2 } + \mathsf { a } _ { 3 } = 6$ ，则 $\scriptstyle \mathtt { a } _ { 7 } =$ （　　）

（5分）若函数y=f（x）的图象与函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = \ln { \sqrt { \mathbf { x } } } + 1$ 的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　）A ${ \tt e } ^ { 2 { \tt x } \mathrm { ~ - ~ } 2 }$ B． $\mathsf { e } ^ { 2 \mathsf { x } }$ C ${ \mathsf { e } } ^ { 2 \mathsf { x } + 1 }$ D ${ \mathsf { e } } ^ { 2 \mathbf { x } + 2 }$

（5分）为得到函数 $\scriptstyle : y = \cos ( 2 x + { \frac { \pi } { 3 } } )$ 的图象，只需将函数 $\scriptstyle \forall = \sin 2 \times$ 的图象（）A．向左平移 $\frac { 5 \pi } { 1 2 }$ 个长度单位 B．向右平移 $\frac { 5 \pi } { 1 2 }$ 个长度单位C．向左平移 $\frac { 5 \pi } { 6 }$ 个长度单位 D．向右平移 $\frac { 5 \pi } { 6 }$ 个长度单位

（5分）已知三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长都相等， ${ \sf A } _ { 1 }$ 在底面ABC内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）

A $\frac 1 3$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ D $\frac { 2 } { 3 }$

（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　）

1 2 3
3 1 2
2 3 1

（5分）若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \\ { 0 \leqslant \mathbf { x } \leqslant 3 } \end{array} \right.$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为　9

（5分）已知抛物线 $\mathsf { y } = \mathsf { a x } ^ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } 1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2

（5分）在 $\triangle A B C$ 中， $\angle A = 9 0 ^ { \circ }$ $\tan B = \frac { 3 } { 4 }$ ．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 $e = \_ { \frac { 1 } { 2 } - }$

（5分）已知菱形 ${ \tt A B C D } ^ { \tt \tt { I } }$ 中，AB=2， $\angle A = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，沿对角线BD将 $\triangle \mathsf { A B D }$ 折起，使二面角 $\mathsf { A } - \mathsf { B D } - \mathsf { C } \mathsf { \ P } 1 2 0 ^ { \circ }$ ，则点A到 $\triangle \tt { B C D }$ 所在平面的距离等于 $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } -$

（10分）设 $\triangle A B C$ 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，b$\sin A = 4$

（Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若 $\triangle A B C$ 的面积S=10，求 $\triangle A B C$ 的周长l

（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2$C D = { \sqrt { 2 } } , A B = A C$

（Ⅰ）证明： $\mathsf { A D \bot C E }$ ；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小

（12分）在数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathsf { a } _ { 1 } { = } 1 , ~ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } { = } 2 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } { + } 2 ^ { \mathsf { n } }$

（Ⅰ）设 $b _ { n } = \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } }$ ．证明：数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 是等差数列；

（Ⅱ）求数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和 $S _ { \mathfrak { n } }$

（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率