已知集合 $A = { \big \{ } x | x > 0 { \big \} } , B = { \big \{ } x | - 1 \leq x \leq 2 { \big \} } .$ 则 $A \bigcup B =$
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A
Did you get it?
2008 浙江卷 数学
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函数 $y = \left( \sin x + \cos x \right) ^ { 2 } + 1$ 的最小正周期是(A) $\frac { \pi } { 2 }$ (B) $\pi$ (C) $\frac { 3 \pi } { 2 }$ (D) $2 \pi$
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B
Did you get it?
已知 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 是等比数列， $a _ { 2 } = 2 , a _ { 5 } = \frac { 1 } { 4 }$ ，则公比 $\mathrm { q } ^ { = }$
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D
Did you get it?
已知 $a \ge 0 , b \ge 0$ 且 $a + b = 2 ,$ 则(A) $a b \leq { \frac { 1 } { 2 } }$ (B) $a b \geq { \frac { 1 } { 2 } }$ (C) $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq 2$ (D) $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \leq 3$
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C
Did you get it?
在 $( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 )$ 的展开式中，含 $x ^ { 4 }$ 的项的系数是(A)-15 (B)85 (C)-120 (D)274
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A
Did you get it?
在同一平面直角坐标系中，函数 $y = \cos\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{3\pi}{2}\right) (x \in [0, 2\pi])$ 的图象和直线 $y = \dfrac{1}{2}$ 的交点个数是
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C
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若双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是
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D
Did you get it?
对两条不相交的空间直线 $a$ 与 $b ,$ 必存在平面α，使得(A) $a \subset \alpha , b \subset \alpha$ (B) $a \subset \alpha , b \mathrm { ~ / / ~ a ~ }$ (C) $a \perp \alpha , b \perp \alpha$ (D) $a \subset \alpha , b \bot \alpha$
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B
Did you get it?
若 $a \geq 0 , b \geq 0 .$ 且当 $\left\{ \begin{array} { l l } { x \geq 0 , } \\ { y \geq 0 , } \\ { x + y \leq 1 } \end{array} \right.$ 时，恒有 $a x + b y \leq 1$ ，则以 a,b为坐标的点 $P ( \boldsymbol { a } , \boldsymbol { b } )$ 所形成的平
面区域的面积是
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C
Did you get it?
已知函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + \vert x - 2 \vert$ ,则f(1) =.
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2
Did you get it?
若 $\sin ( \frac { \pi } { 2 } + \theta ) = \frac { 3 } { 5 }$ ,则 $\cos 2 \theta =$
易错：符号错误
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$- \frac { 7 } { 2 5 }$
Did you get it?
这题的学习线索
常见易错符号错误
已知 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 为椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 的两个焦点，过 $F _ { 1 }$ 的直线交椭圆于A、B两点 若 $F _ { 2 } A | + | F _ { 2 } B | = 1 2$ ，则 $| A B | \mathrm { { ; } }$ 二 o
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8
Did you get it?
在 $\triangle A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若 $( { \sqrt { 3 } } b - c ) \cos A = a \cos C$ ,则 cosA=
Answer key
$\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$
Did you get it?
如图，已知球0的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC。
$A B \bot B C , D A = A B = B C = \sqrt { 3 }$ ，则球0的体积等于
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$\frac { 9 \pi } { 2 }$
Did you get it?
（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 $\frac { 2 } { 5 }$ ;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac { 7 } { 9 }$ .求：
（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。
Answer key
.本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。 （Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为 $1 0 \times \frac { 2 } { 5 } = 4$ 
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则 $$ P ( A ) = \frac { C _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 1 0 } ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 1 5 } . $$ （Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B。设袋中白球的个数为x，则 $$ P ( B ) = 1 - P ( \overline { { B } } ) = 1 - \frac { C _ { n - 1 } ^ { 2 } } { C _ { n } ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 9 } , $$ 得到x=5
Did you get it?
（本题14分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， $\angle B C F = \angle C E F = 9 0 ^ { \circ } , A D =$ ${ \sqrt { 3 } } , E F = 2$
（I）求证：AE//平面DCF;
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角 $A { - } E F { - } C$ 的大小为 $6 0 ^ { \circ } \mathrm { ~ \ ? ~ }$
Answer key
空间本题主要考查空间线面关系向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。 **方法一**： （I）证明：过点E作EG⊥CF并 $C F \cdot$ 于 $G ,$ 连结 DG，可得四边形 BCGE为矩形。又ABCD为矩形， 所以 $A D \bot / / E G ,$ 从而四边形ADGE为平行四边形，故 $A E / / D G _ { \circ }$ 因为 AE∉平面 DCF，DG⊂平面 DCF，所以 AE∥/平面 DCF。 （Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。由平面 $\begin{array} { r } { A B C D \bot \overrightarrow { \Psi } \overrightarrow { \mathbb { H } } \ B E F G , A B \bot B C , } \\ { A B \bot \overrightarrow { \Psi } \overrightarrow { \mathbb { H } } \ B E F C , } \end{array}$ 得从而 AH⊥EF, 
所以 $\angle A H B$ 为二面角 A-EF-C 的平面角。 在 $\mathrm { R t } \triangle E F G$ 中，因为 $E G = A D = \sqrt { 3 } , E F = 2$ 所以 $\angle C F E = 6 0 ^ { \circ } , F G = 1$ 又因为 $C E \bot E F ,$ 所以 $C F { = } 4$ 从而 $B E { = } C G { = } 3 .$ 于是 $B H = B E \cdot \sin \angle B E H = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 }$ 因为 $A B = B H \cdot \tan \angle A H B ,$ 所以当AB为 $\frac { 9 } { 2 }$ 时，二面角A-EF-G的大小为 $6 0 ^ { \circ }$ **方法二**： 如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系 $C { - } { \boldsymbol { X } } { \boldsymbol { J } } { \boldsymbol { Z } } .$ 设 $A B = a , B E = b , C F = c .$ 则 $C ~ ( 0 , ~ 0 , ~ 0 ) , ~ A ~ ( ~ \sqrt { 3 } , 0 , a ) , B ( \sqrt { 3 } , 0 , 0 ) ,$ 
E(√3,b,0),F(0,c,0). （Ⅰ）证明： $\overrightarrow { A E } = ( 0 , b , - a ) , \overrightarrow { C B } = ( \sqrt { 3 } , 0 , 0 ) , \overrightarrow { B E } = ( 0 , b , 0 ) .$ 所以 $\overrightarrow { C B } \bullet \overrightarrow { A E } = 0 , \overrightarrow { C B } \bullet \overrightarrow { B E } = 0 .$ 从而 $C B \bot A E , C B \bot B E$ 所以 $C B \bot$ 平面 ABE。 因为 GB⊥平面 DCF，所以平面 ABE∥/平面 DCF故 $A E / /$ 平面 DCF （I）解：因为 $\overrightarrow { E F } = ( - \sqrt { 3 } , c - b , 0 ) , \overrightarrow { C E } = ( \sqrt { 3 } , b , 0 )$ 所以 $\overrightarrow { E F } \cdot \overrightarrow { C E } = 0 . \left| \overrightarrow { E F } \right| = 2$ ，从而 $$ \left\{ { \begin{array} { l } { - 3 + b ( c - b ) = 0 , } \\ { { \sqrt { 3 + ( c - b ) ^ { 2 } } } = 2 . } \end{array} } \right. $$ 解得 $b { = } 3 , c { = } 4$ 所以 $E ( \sqrt { 3 } , 3 , 0 ) . F ( 0 , 4 , 0 )$ 设 $n = ( 1 , y , z )$ 与平面 $A E F$ 垂直， 则 $\boldsymbol { \mathrm { n } } \cdot \overrightarrow { A E } = 0 , \boldsymbol { \mathrm { n } } \cdot \overrightarrow { E F } = 0$ 解得 $n = ( 1 , { \sqrt { 3 } } , { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { a } } )$ 又因为 $B A \bot$ 平面 BEFC, $\overrightarrow { B A } = ( 0 , 0 , a )$ 所以 $\left| \cos < n , \overrightarrow { B A } > \right| = \frac { \left| \overrightarrow { B A } \cdot n \right| } { \left| \overrightarrow { B A } \right| \cdot \left| n \right| } = \frac { 3 \sqrt { 3 } a } { a \sqrt { 4 a ^ { 2 } + 2 7 } } = \frac { 1 } { 2 } ,$ 得到 $a = \frac { 9 } { 2 }$ 所以当AB为 $\frac { 9 } { 2 }$ 时，二面角 $A { - } E F C$ 的大小为 $6 0 ^ { \circ }$
Did you get it?
（本题15分）已知曲线C是到点 $P ( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 8 } )$ 和到直线$y = - \frac { 5 } { 8 }$ 距离相等的点的轨迹，1是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在1上）的动点；A、B在1上，$M A \bot l , M B \bot x$
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线 $l$的方程，使得 $\frac { \mid Q B \mid ^ { 2 } } { \mid Q A \mid }$ 为常数。
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本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （I）解：设 $N ( x , y )$ 为C上的点，则 $$ | N P | { = } \sqrt { ( x { + } \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } + ( y { - } \frac { 3 } { 8 } ) ^ { 2 } } ~ . $$ N到直线 $y = - \frac { 5 } { 8 }$ 的距离为 $\left| y + { \frac { 5 } { 8 } } \right|$ 由题设得 $\sqrt { ( x + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } + ( y - \frac { 3 } { 8 } ) ^ { 2 } } = \left| y + \frac { 5 } { 8 } \right|$ 化简，得曲线C的方程为 $y = \frac 1 2 ( x ^ { 2 } + x )$ （I）解法一： 设 $M ( x , \frac { x ^ { 2 } + x } { 2 } )$ ，直线 $l \colon \ y = k x + k$ ，则 $B ( x , k x + k )$ ，从而 $$ \left| Q B \right| = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \left| x + 1 \right| . $$ 在 $\mathbf { R t } \triangle Q M A$ 中，因为 $$ \left| Q M \right| = ( x + 1 ) ^ { 2 } ( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } ) , $$ $$ \big | M A \big | = \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } ( k - \frac { x } { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } . $$ 
所以 $\left| Q A \right| ^ { 2 } = \left| Q M \right| ^ { 2 } - \left| A M \right| ^ { 2 } = \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } } { 4 ( 1 + k ^ { 2 } ) } ( k x + 2 ) ^ { 2 }$ $$ \left| Q A \right| = \frac { \left| x + 1 \right| \cdot \left| k x + 2 \right| } { 2 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , $$ $$ \frac { \left| \mathcal { Q B } \right| ^ { 2 } } { \left| \mathcal { Q A } \right| } = \frac { 2 ( 1 + k ^ { 2 } ) \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } { \left| k \right| } \cdot \left| \frac { x + 1 } { x + \frac { 2 } { k } } \right| $$ 当 $k { = } 2$ 时， ${ \frac { \left| Q B \right| ^ { 2 } } { \left| Q A \right| } } = 5 { \sqrt { 5 } }$ 从而所求直线l方程为 $2 x - y + 2 = 0$ 解法二： 设 $M ( x , \frac { x ^ { 2 } + \pi } { 2 } )$ ，直线直线 $l \colon \ y = k x + k$ ，则 $B ( x , k x + k )$ ，从而 $$ \scriptstyle \left| Q B \right| = { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \left| x + 1 \right| $$ 过(-1,0)垂直于l的直线l1: $y = - \frac { I } { k } ( x + 1 )$ 因为 $\left| Q A \right| = \left| M H \right|$ ，所以 $$ \left| Q A \right| = \frac { \left| x + 1 \right| \cdot \left| k x + 2 \right| } { 2 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , $$ 
$$ \frac { \left| \boldsymbol { \mathcal { Q B } } \right| ^ { 2 } } { \left| \boldsymbol { \mathcal { Q A } } \right| } = \frac { 2 ( 1 + k ^ { 2 } ) \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } { \left| k \right| } \cdot \left| \frac { \boldsymbol { x } + 1 } { { \boldsymbol { x } } + \displaystyle \frac { 2 } { k } } \right| , $$ 当k=2时， ${ \frac { \left| Q B \right| ^ { 2 } } { \left| Q A \right| } } = 5 { \sqrt { 5 } }$ 从而所求直线l方程为 $2 x - y + 2 = 0$
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本卷概览这张卷怎么考查看完整卷面分析
难度结构
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题型结构
解答 12 · 单选 5
难度分布
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