2008 地方卷 · 理 数学

复数 $\left(i-\frac{1}{i}\right)^{3}$ 等于

＂$|x-1|<2$ 成立＂是＂$x(x-3)<0$ 成立＂的（

已知变量 $x, y$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 1, \\ x-y \leq 0, \\ x+2 y-9 \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $x+y$ 的最大值是 $($

设随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,9)$ ，若 $P(\xi>c+1)=P(\xi<c-1)$ ，则 $c=$

设有直线 $m , n$ 和平面 $\alpha , \beta$ ，下列四个命题中，正确的是

函数 $f(x)=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值是

设 $D , E , F$ 分别是 $\triangle A B C$ 的三边 $B C , C A , A B$ 上的点，且 $\overrightarrow{D C}=2 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E A}$ ， $\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$ ，则 $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}$ 与 $\overrightarrow{B C}$

若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 上横坐标为 $\frac{3 a}{2}$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）

长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的 8 个顶点在同一球面上，且 $A B=2, A D=\sqrt{3}, A A_{1}=1$ ，则顶点 $A , B$ 间的球面距离是（ ）

设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ），对于给定的 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是（）

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+3 x-4}=$ $\_\_\_\_$。

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 F ，右准线为 $l$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

过顶点 $A(0, b)$ 作 $\mathrm{AM} \perp l$ ，垂足为 M ，则直线 FM 的斜率等于 $\_\_\_\_$ ．

设函数 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$ ，且函数 $y=x-f(x)$ 的图象过点 $(1,2)$ ，则函数 $y=f^{-1}(x)-x$ 的图象一定过点 $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{3-ax}}{a-1}\,(a\ne1)$.
（1）若 $a>0$，则 $f(x)$ 的定义域是_____；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是_____.

17．（本小题满分 12 分）
如图所示，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 1 的菱形，$\angle B C D=60^{\circ}$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=2$ ．
（I）证明：平面 $P B E \perp$ 平面 $P A B$ ；
（II）求平面 $P A D$ 和平面 $P B E$ 所成二面角（锐角）的大小．

20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线$y2=4x$上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.