2011 大纲卷 数学

（5分）设集合U={1，2，3，4}， $\mathsf { M } = \{ 1 , ~ 2 , ~ 3 \}$ $N = \{ 2 , 3 , 4 \}$ ，则 ${ \sf C } _ { \sf U } { \sf \Psi } \left( { \sf M } \right| { \sf \Psi }$ N）=（　　）

（5分）函数 $\cdot \forall = 2 \sqrt { \textbf { x } } \left( \mathbf { x } { \ge } 0 \right)$ 的反函数为（A． $\mathsf { y } { = } \frac { \mathsf { x } } { 4 } ^ { 2 } \left( \mathsf { x } { \in } \mathsf { R } \right)$ B $\scriptstyle \forall = { \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } } ( \mathbf { x } \geq 0 )$ C $\forall \mathbf { = } 4 \mathbf { x } ^ { 2 } ( \mathbf { x } \in \mathsf { R } )$ D $\forall \mathbf { = } 4 \mathbf { x } ^ { 2 } ( \mathbf { x } { \geq } 0 )$

（5分）设向量 $\vec { \mathsf { a } } ,$ 、 满足 $\vert \vec { \mathsf { a } } \vert = \vert \vec { \mathsf { b } } \vert = 1$ $\vec { \mathsf { a } } \bullet \vec { \mathsf { b } } = - \frac { 1 } { 2 }$ ， $\vert \overrightarrow { a } + 2 \overrightarrow { b } \vert =$ （ ）A $\boldsymbol { \cdot } \sqrt { 2 }$ B $\sqrt { 3 }$ C．、 $\sqrt { 5 }$ D $\smash { \cdot \sqrt { 7 } }$

（5分）若变量x、y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } < 6 } \\ { \mathbf { x } - 3 \mathbf { y } \leqslant - 2 } \\ { \mathbf { x } \geqslant 1 } \end{array} \right.$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最小值为（）

（5分）下面四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分而不必要的条件是（　　）A $a > { \mathsf { b } } + 1$ B $a > b - 1$ C $\mathtt { a } ^ { 2 } > \mathtt { b } ^ { 2 }$ D $\mathtt { a } ^ { 3 } > \mathtt { b } ^ { 3 }$

（5分）设 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和，若 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ ，公差d=2， $S _ { k + 2 } - S _ { k } = 2 4$ ，则 k=（　　）

（5分）设函数$f(x)=\cos\omega x$（$\omega>0$），将$y=f(x)$的图象向右平移$\dfrac{\pi}{3}$个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则$\omega$的最小值等于（　　）

（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2， $\mathsf { A C } = \mathsf { B D } = 1$ ，则CD=（　　） A．2 B． $\sqrt { 3 }$ C $\sqrt { 2 }$ D．1

（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（　　）

（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当 $\scriptstyle 0 \leq x \leq 1$ 时， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = 2 { \textsf { x } } \left( { \textsf { 1 - x } } \right)$ ，则$\bar { \mathbf { f } } ( - \frac { 5 } { 2 } ) =$ （　　）A $- \frac { 1 } { 2 }$ B $- \frac { 1 } { 4 }$ C $\frac { 1 } { 4 }$ D $\frac { 1 } { 2 }$

（5分）设两圆$C_1$、$C_2$都和两坐标轴相切，且都过点$(4,1)$，则两圆心的距离$|C_1C_2|=$（　　）

（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）

（5分）（1﹣x）¹⁰的二项展开式中，x的系数与x⁹的系数之差为：　0

（5分）已知 $\mathsf { \Omega } \mathsf { f a } \in \mathsf { \Omega } ( \pi , \mathrm { \Omega } \frac { 3 \pi } { 2 } )$ $\tan a = 2$ ，则 $\cos \alpha = - \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

（5分）已知 $\mathsf { F } _ { 1 } , ~ \mathsf { F } _ { 2 }$ 分别为双曲线C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 9 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 7 } = 1$ 的左、右焦点，点 $\mathsf { A E C }$ ，点M的坐标为（2，0），AM为 $\angle \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { A } \mathsf { F } _ { 2 }$ 的平分线，则 $\left| \mathsf { A F } _ { 2 } \right| = \_ 6$

（10分）设等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，已知$a_2=6$，$6a_1+a_3=30$，求$a_n$和$S_n$．

（12分）$\triangle ABC$的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知$a\sin A+c\sin C-\sqrt{2}a\sin C=b\sin B$，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若$A=75^\circ$，$b=2$，求$a$，$c$．

（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率

（12分）已知函数f $( x ) = x ^ { 3 } + 3 a x ^ { 2 } + ( 3 - 6 a ) x + 1 2 a - 4 ( a \in R )$

（Ⅰ）证明：曲线 ${ \sf y } { = } { \sf f } \mathrm { \Omega } \left( { \sf x } \right)$ 在x=0处的切线过点（2，2）；

（Ⅱ）若f（x）在 $\mathtt { x } = \mathtt { x } _ { 0 }$ 处取得极小值， $\mathsf { x } _ { 0 } \in \mathsf { \Gamma } ( 1 , \mathsf { \Omega } _ { 3 } )$ ，求a的取值范围

（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： $\mathbf { x } ^ { 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 } = 1$ 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 $- \sqrt { 2 } |$ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 $\overrightarrow { O _ { A } } + \overrightarrow { O _ { B } } + \overrightarrow { O _ { P } } = \overrightarrow { 0 }$

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上