2011 新课标卷（旧） · 理 数学

（5分）复数 $\frac{2+\mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}$ 的共轭复数是

（5分）下列函数中，既是偶函数又在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的函数是 ）

（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是6，那么输出的 p 是（ ）

（ 5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（5分）已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线

$y=2 x$ 上，则 $\cos 2 \theta=$

（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为

（正视图）

（俯视图）

（5分）设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直，$I$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的2倍，则 $C$ 的离心率为（）

（5分）$\left(x+\frac{a}{x}\right)\left(2 x-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的展开式中各项系数的和为 2 ，则该展开式中常数项为

（5分）由曲线 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ ，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ 及 y 轴所围成的图形的面积为

（5分）已知 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 均为单位向量，其夹角为 $\theta$ ，有下列四个命题 $\mathrm{p}_{1}:|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}| >1 \Leftrightarrow \theta \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) ; P_{2}:|\vec{a}+\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right] ; P_{3}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in[ \left.0, \frac{\pi}{3}\right) ; P_{4}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ ；其中的真命题是（ ）

（5分）设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)+\cos (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，且 $f(-x)=f(x)$ ，则（ ）

（5分）函数 $\mathrm{y}=\frac{1}{1-\mathrm{x}}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=2 \sin \pi \mathrm{x}, ~(-2 \leq \mathrm{x} \leq 4)$ 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）

（5分）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}3 \leqslant 2 x+y \leqslant 9 \\ 6 \leqslant x-y \leqslant 9\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最小值为—
$\_\_\_\_$ － 6 ．

（5分）在平面直角坐标系 xOy ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 在 x 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过 $F_{1}$ 的直线交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 ，那么C的方程为 $-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ．

（5分）已知矩形 $A B C D$ 的顶点都在半径为 4 的球 $O$ 的球面上，且 $A B=6, B C=2 \sqrt{3}$ ，则棱锥 $\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$ 的体积为 $\_\_\_\_$ $8 \sqrt{3}$。

（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$B=60^{\circ}, A C=\sqrt{3}$ ，则 $A B+2 B C$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$ 。

（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1}+3 a_{2}=1, a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ ，
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和。

设函数 $f(x)=|x-a|+3 x$ ，其中 $a>0$ ．
（I）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 3 x+2$ 的解集
（II）若不等式 $f(x) \leq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq-1\}$ ，求 $a$ 的值．