2011 北京卷 数学

（5分）（2011•北京）已知集合 $\mathbf { P } { = } \{ \mathbf { x } | \mathbf { x } ^ { 2 } { \leq } 1 \}$ }，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）

（5分）（2011•北京）复数 $\frac { \mathrm { i } - 2 } { 1 + 2 \mathrm { i } } =$ （ ）A．i B．﹣i C $- \frac { 4 } { 5 } - \frac { 3 } { 5 } \mathbf { i }$ D $- \frac { 4 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 } i$

（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：

① $_ { \mathrm { A D + A E = A B + B C + C A } }$ ；② $\mathrm { A F } \bullet \mathrm { A G } { = } \mathrm { A D } { \bullet } \mathrm { A }$ E③△AFB～△ADG

其中正确结论的序号是（　　）

（5分）（2011•北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为$f(x)=\begin{cases}\dfrac{c}{\sqrt{x}},&x<A\\\dfrac{c}{\sqrt{A}},&x\geqslant A\end{cases}$（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（　　）

（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（　　）

（5分）（2011•北京）已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3},\ 1)$，$\vec{b} = (0,\ -1)$，$\vec{c} = (k,\ \sqrt{3})$．若 $\vec{a} - 2\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $k =$ ______．

（5分）（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有　14　个．（用数字作答）

（14分）（2011•北京）如图，在四棱锥 $\mathrm { \bf P } \mathrm { \bf - A B C D }$ 中， $\mathrm { P A } \perp$ 平面ABCD，底面ABCD是菱形， ${ \mathrm { A B } } { = } 2 , ~ { \angle } { \mathrm { B A D } } { = } 6 0 ^ { \circ }$

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若 $\mathrm { P A } { = } \mathrm { A B }$ ，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长

（13分）（2011•北京）已知函数 $f ( \mathbf { x } ) = \left( \mathbf { x } - \mathrm { k } \right) \ ^ { 2 } \mathbf { \rho } _ { \mathsf { e } } ^ { \frac { \mathbf { x } } { \mathrm { k } } } .$

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的 $\mathbf { \xi } _ { \mathbf { X } } \in \mathbf { \xi } \left( 0 , \mathbf { \xi } + \infty \right)$ ，都有f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } \leq \frac { 1 } { \mathsf { e } } ,$ ，求k的取值范围

（14分）（2011•北京）已知椭圆$G$：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$．过点（m，0）作圆$x^2+y^2=1$的切线$l$交椭圆$G$于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆$G$的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将$|AB|$表示为$m$的函数，并求$|AB|$的最大值．