2014 地方卷 · 理 数学

已知集合 $M=\{x \mid x \geq 0, x \in R\}, N=\left\{x \mid x^{2}<1, x \in R\right\}$ ，则 $M \cap N=$

函数 $f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期是

定积分 $\int_{0}^{1}\left(2 x+e^{x}\right) d x$ 的值为

根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

已知底面边长为 1 ，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为

下列函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

原命题为＂若 $z_{1}, z_{2}$ 互为共轭复数，则 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$＂，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是

设样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ 的均值和方差分别为 1 和 4 ，若 $y_{i}=x_{i}+a$（ $a$ 为非零常数，$i=1,2, \cdots, 10$ ），则 $y_{1}, y_{2}, \cdots y_{10}$ 的均值和方差分别为

如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 $A$ 的水平距离 10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）

已知 $4^{a}=2, \lg x=a$ ，则 $x=$

若圆 $C$ 的半径为 1 ，其圆心与点 $(1,0)$ 关于直线 $y=x$ 对称，则圆 $C$ 的标准方程为

设 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，向量 $\vec{a}=(\sin 2 \theta, \cos \theta), \vec{b}(\cos \theta, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\tan \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

观察分析下表中的数据：

猜想一般凸多面体中，$F, V, E$ 所满足的等式是 $\_\_\_\_$。

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
$A$ ．（不等式选做题）设 $a, b, m, n \in R$ ，且 $a^{2}+b^{2}=5, m a+n b=5$ ，则 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

（本小题满分 12 分）
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$．
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值．

（本小题满分 12 分）

在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A(1,1), B(2,3), C(3,2)$ ，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上
（1）若 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$ ，求 $|\overrightarrow{O P}|$ ；
②设 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in R)$ ，用 $x, y$ 表示 $m-n$ ，并求 $m-n$ 的最大值。

21．（本小题满分 13 分）
如图，曲线 $C$ 由上半陏圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0, y \geq 0)$ 和部分抛物线 $C_{2}: y=-x^{2}+1(y \leq 0)$ 连接而成，$C_{1}, C_{2}$ 的公共点为 $A, B$，其中 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于 $P, Q$（均异于点 $A, B$ ），若 $A P \perp A Q$，求直线 $l$ 的方程．