2014 地方卷 · 理 数学

已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位，若 $a-i$ 与 $2+b i$ 互为共轭复数，则 $(a+b i)^{2}=$

设集合 $A=\{x| | x-1 \mid<2\}, B=\left\{y \mid y=2^{x}, x \in[0,2]\right\}$ ，则 $A \cap B=$

函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left(\log _{2} x\right)^{2}-1}}$ 的定义域为

用反证法证明命题：＂已知 $a, b$ 为实数，则方程 $x^{2}+a x+b=0$ 至少有一个实根＂时，要做的假设是

已知实数 $x, y$ 满足 $a^{x}<a^{y} \quad(0<a<1)$ ，则下列关系式恒成立的是

直线 $y=4 x$ 与曲线 $y=x^{3}$ 在第一象限内围成的封闭图形的面积为

为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：$k P a$ ）的分组区间为 $[12,13)$ ，
，［14，15），［15，16），［16，17］，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ．，第五组．右图是根据试验数据制成的

$[13,14)$

已知函数 $f(x)=|x-2|+1, g(x)=k x$ ，若 $f(x)=g(x)$ 有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是

已知 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y-1 \leq 0, \\ 2 x-y-3 \geq 0,\end{array}\right.$ 当目标函数 $z=a x+b y(a>0, b>0)$ 在该约束条件下取到最小值 $2 \sqrt{5}$ 时，$a^{2}+b^{2}$ 的最小值为

已知 $a>b$ ，椭圆 $C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，双曲线 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $C_{2}$ 的渐近线方程为

执行右面的程序框图，若输入的 $x$ 的值为 1 ，则输出的 $n$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\tan A$ ，当 $A=\frac{\pi}{6}$ 时，$\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$

三棱锥 $P-A B C$ 中，$D, E$ 分别为 $P B, P C$ 的中点，记三棱锥
$D-A B E$ 的体积为 $V_{1}, P-A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}=$ $\_\_\_\_$ ；

若 $\left(a x^{2}+\frac{b}{x}\right)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为 20 ，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ；

已知函数 $y=f(x)(x \in R)$ ．对函数 $y=g(x)(x \in I)$ ，定义 $g(x)$ 关于 $f(x)$ 的＂对称函数＂为 $y=h(x)(x \in I), y=h(x)$ 满足：对任意 $x \in I$ ，两个点 $(x, h(x)),(x, g(x))$ 关于点 $(x, f(x))$ 对称，若 $h(x)$ 是 $g(x)=\sqrt{4-x^{2}}$ 关于 $f(x)=3 x+b$ 的＂对称函数＂，且 $h(x)>g(x)$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ；

（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $b_{n}=(-1)^{n-1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}-k\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)$（ $k$ 为常数，$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）．
（I）当 $k \leq 0$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围．