2014 地方卷 数学

已知 $a,b\in R,i$ 是虚数单位. 若 $a+i=2-bi$，则 $(a+bi)^2=$

设集合 $A = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - 2 x < 0 \right\}$ }, $B = \{ x | 1 \leq x \leq 4 \}$ ，则 $A \cap B =$

函数 $f ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \log _ { 2 } x - 1 } } }$ 的定义域为

用反证法证明命题：“设 $a,b$ 为实数，则方程 $x^3+ax+b=0$ 至少有一个实根”时，要做的假设是

已知实数 x y, 满足 $a ^ { x } < a ^ { y } ( 0 < a < 1 )$ ，则下列关系式恒成立的是(A) $x ^ { 3 } > y ^ { 3 }$ (B) $\sin x > \sin y$ (C) $\ln ( x ^ { 2 } + 1 ) > \ln ( y ^ { 2 } + 1 )$ (D) $\frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } > \frac { 1 } { y ^ { 2 } + 1 }$

已知函数 $y = \log _ { a } ( x + c ) ( a ,$ c为常数，其中 $^ { 1 } a > 0 , a \neq 1 )$ 的图象如右图，则下列结论成立的是

已知向量 $\stackrel { } { a } = ( 1 , \sqrt { 3 } ) , \vec { b } = ( 3 , m )$ . 若向量 $\vec { a } , \vec { b }$ 的夹角为 $\frac { \pi } { 6 }$ ，则实数 $m =$

对于函数 $f(x)$，若存在常数 $a \ne 0$，使得 $x$ 取定义域内的每一个值，都有 $f(x) = f(2a - x)$，则称 $f(x)$ 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

已知 $x, y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x - y - 1 \le 0, \\ 2x - y - 3 \ge 0, \end{cases}$ 当目标函数 $z = ax + by\ (a > 0, b > 0)$ 在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt{5}$ 时，$a^2 + b^2$ 的最小值为

(16)（本小题满分12分）

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>地区</td><td rowspan=1 colspan=1>A</td><td rowspan=1 colspan=1>B</td><td rowspan=1 colspan=1>C</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>数量</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>100</td></tr></table>

（I）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(

一个六棱锥的体积为 $2\sqrt{3}$，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______.

圆心在直线 $x - 2y = 0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2\sqrt{3}$，则圆 $C$ 的标准方程为____.

（本小题满分12分）

DABC中，角A，B，C所对的边分别为 $a , b , c$ . 已知 $a = 3 , \cos A = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } } , B = A + { \frac { \pi } { 2 } }$

（I）求b的值；

（II）求 $\Delta A B C$ 的面积.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\dfrac{4\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）．点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $AD\perp AB$，直线 $BD$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $M$，$N$ 两点．
（i）设直线 $BD$，$AM$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_1=\lambda k_2$，并求出 $\lambda$ 的值；
（ii）求 $\triangle OMN$ 面积的最大值．