2015 新课标 I 卷 数学

（5分）设复数z满足 $\frac { 1 + z } { 1 - z } = i$ ，则|z|=（　　）

（5分） $\sin 2 0 ^ { \circ } { \cos 1 0 ^ { \circ } } - \cos 1 6 0 ^ { \circ } { \sin 1 0 ^ { \circ } } =$ （ ）A $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ C $\begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}$ D $\frac { 1 } { 2 }$

（5分）设命题p： $\exists { \mathsf { n } } \in { \mathsf { N } } , \mathsf { n } ^ { 2 } > 2 ^ { \mathsf { n } }$ ，则￢p为（　　） A $\forall \mathsf { n } \in \mathsf { N }$ $n ^ { 2 } > 2 ^ { n }$ B $\exists n \in \mathsf { N } , \mathsf { n } ^ { 2 } { \le } 2 ^ { \mathsf { n } }$ C $\forall n \in \mathsf { N } , \mathsf { n } ^ { 2 } { \le } 2 ^ { \mathsf { n } }$ D $\exists n \in \mathsf { N } , \mathsf { n } ^ { 2 } { = } 2 ^ { \mathsf { n } }$

（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）

（5分）已知 $\mathsf { ~ \bf ~ M ~ } \left( \mathsf { x } _ { 0 } , \mathsf { y } _ { 0 } \right)$ 是双曲线C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ 上的一点， $\mathsf { F } _ { 1 } , \mathsf { F } _ { 2 }$ 是C的左、右两个焦点，若 $\overrightarrow { \bar { \Psi } _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { \mathfrak { M } \bar { \mathfrak { F } _ { 2 } } } ^ { < 0 }$ ，则 $\forall 0$ 的取值范围是（
A $( - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } )$ B $( - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } )$ C $( - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } )$ D
$( - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$

（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

（5分）设D为 $\triangle \mathsf { A B C }$ 所在平面内一点， $\overrightarrow { B C } = 3 \overrightarrow { C D }$ ，则（A $\overrightarrow { A D } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } + \frac { 4 } { 3 } \overrightarrow { A C }$ B $\overrightarrow { A D } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } - \frac { 4 } { 3 } \overrightarrow { A C }$ C $\overrightarrow { A D } = \frac { 4 } { 3 } \overrightarrow { A B } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A C }$ D $\overrightarrow { A D } = \frac { 4 } { 3 } \overrightarrow { A B } - \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A C }$

（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\scriptstyle { \mathrm { t } = 0 . 0 1 }$ ，则输出的n=（）

（5分） $( x ^ { 2 } + x + y )$ ⁵的展开式中， $\mathsf { x } ^ { 5 } \mathsf { y } ^ { 2 }$ 的系数为（　　）

（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16$+ 2 0 \pi$ ，则r=（　　）

正视图

俯视图

（5分）若函数f $( x ) = x \ln ( x + \sqrt { a + x ^ { 2 } } )$ 为偶函数，则a= 1

（5分）若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - 1 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - \mathbf { y } \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 4 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ ．则 $\frac { y } { x }$ 的最大值为　3

（5分）在平面四边形ABCD中，$\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ$．BC=2，则AB的取值范围是______．

（12分）$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，已知$a_n>0$，$a_n^2+2a_n=4S_n+3$
（Ⅰ）求$\{a_n\}$的通项公式；
（Ⅱ）设$b_n=\dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和．