2016 新课标 III 卷 · 理 数学

（5分）设集合 $S=\{x \mid(x-2)(x-3) \geq 0\}, T=\{x \mid x>0\}$ ，则 $S \cap T=$（ ）

（5分）若 $z=1+2 i$ ，则 $\frac{4 i}{z^{*} \bar{z}-1}=$

（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\angle \mathrm{ABC}=$（）

（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 1 $5^{\circ} \mathrm{C}$ ，B点表示四月的平均最低气温约为 $5^{\circ} \mathrm{C}$ ，下面叙述不正确的是

——平均最低气温 ——平均最高气温

（5分）若 $\tan \alpha=\frac{3}{4}$ ，则 $\cos ^{2} \alpha+2 \sin 2 \alpha=$（ ）

（5分）已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

（5分）执行如图程序框图，如果输入的 $\mathrm{a}=4, ~ \mathrm{~b}=6$ ，那么输出的 $\mathrm{n}=$（ ）

（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $\cos A$ 等于（ ）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

（5分）在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $A B \perp B C$ ， $A B=6, B C=8, A A_{1}=3$ ，则 $V$ 的最大值是

（5分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A$ ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{x}$ 轴，过点 A 的直线 $l$ 与线段 PF交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（

（5分）定义＂规范01数列＂$\left\{a_{n}\right\}$ 如下：$\left\{a_{n}\right\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为 0 ，$m$ 项为 1 ，且对任意 $k \leq 2 m, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 $m=4$ ，则不同的＂规范01数列＂共有

（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x-2 y \leqslant 0 \\ x+2 y-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+y$ 的最大值为一 $\frac{3}{2}$ 一。

（5分）函数 $y=\sin x-\sqrt{3} \cos x$ 的图象可由函数 $y=\sin x+\sqrt{3} \cos x$ 的图象至少向右平移－$\frac{2 \pi}{3}$－个单位长度得到．

（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x<0$ 时，$f(x)=\ln (-x)+3 x$ ，则曲线 $y=f$ （x）在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是 $\quad 2 x+y+1=0$ ．

（5分）已知直线｜：$m x+y+3 m-\sqrt{3}=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$分别作I的垂线与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点，若 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $|C D|=\underline{4}$ ．

（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=1+\lambda a_{n}$ ，其中 $\lambda \neq 0$ ．
（1）证明 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，并求其通项公式；
（2）若 $S_{5}=\frac{31}{32}$ ，求 $\lambda$ ．

（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨 ）的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014．
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；
（II）建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：
参考数据：$\sum_{i=1}^{7} y_{i}=9.32, \sum_{i=1}^{7} t_{i} y_{i}=40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$ ．
参考公式：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ，
回归方程 $\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$$ \widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b} t . $$

（12分）设函数 $f(x)=a \cos 2 x+(a-1)(\cos x+1)$ ，其中 $a>0$ ，记 $\mid f(x)$ ｜的最大值为 A ．
（I）求 $f^{\prime}(x)$ ；
（II）求 A ；
（III）证明：$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2 A$ ．

（10分）如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠$PFB=2$∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当$a=2$时，求不等式f（x）≤6的解集；
②设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．