2016 新课标 III 卷 数学

（5分）设集合 $S = \{ \mathbf { x } | ( \mathbf { x } - 2 ) ( \mathbf { x } - 3 ) \geq 0 \}$ $\mathsf { T } = \left\{ \mathbf { x } \vert \mathbf { x } { > } 0 \right\}$ ，则S∩T=（　　）A．[2，3] B $\left( \mathbf { \bar { \tau } } - \infty , \mathbf { \bar { 2 } } \right] \cup \left[ 3 , \mathbf { \tau } + \infty \right)$ C $[ 3 , \ + \infty )$ D $\left( 0 , \ 2 \right] \cup \left[ 3 , \ + \infty \right)$

（5分）若 $z = 1 + 2 i$ ，则 $\frac { 4 \dot { 1 } } { z ^ { \bullet } z - 1 } =$ （　　）

（5分）已知向量 $\overrightarrow { B A } = ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) , \overrightarrow { B C } = ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } )$ ，则 $\angle A B C = ( )$ A $30 ^ { \circ }$ B $4 5 ^ { \circ }$ C $60 ^ { \circ }$ D $\Omega 0 ^ { \circ }$

（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为1$5 \%$ ，B点表示四月的平均最低气温约为 $1 5 \%$ ，下面叙述不正确的是（　　）

一平均最低气温 平均最高气温

（5分）若 $\tan a = \frac { 3 } { 4 }$ ，则 $\cos ^ { 2 } \alpha + 2 \sin 2 \alpha =$ （ ）A $\frac { 6 4 } { 2 5 }$ B $\frac { 4 8 } { 2 5 }$ C．1 D $\frac { 1 6 } { 2 5 }$ 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值

（5分）已知 $1 \mathsf { a } = \mathsf { 2 } ^ { \frac { 4 } { 3 } } , \mathsf { b } = \mathsf { 3 } ^ { \frac { 2 } { 3 } } , \mathsf { c } = 2 5 ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ ，则（ ）A ${ \mathsf { b } } { < } { \mathsf { a } } { < } { \mathsf { c } }$ B $\mathsf { a } { < } \mathsf { b } { < } \mathsf { c }$ C $\mathsf { b } { < } \mathsf { c } { < } \mathsf { a }$ D $c < a < b$

（5分）执行如图程序框图，如果输入的$a=4$，$b=6$，那么输出的$n=$（　　）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）

A $1 8 + 3 6 \sqrt { 5 }$ B $5 4 \div 1 8 \sqrt { 5 }$ C．90 D．81

（5分）在封闭的直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 内有一个体积为V的球，若 $A B \bot B C$ AB=6，BC=8， $\mathsf { A A } _ { 1 } = 3$ ，则V的最大值是（　　）A．4π B $\frac { 9 \pi } { 2 }$ C．6π D $\frac { 3 2 \pi } { 3 }$

（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A $\frac 1 3$ B $\frac { 1 } { 2 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$

（5分）定义“规范01数列” $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 如下： $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意 $k { \leq } 2 { \bmod { , } } ~ { \mathsf { a } } _ { 1 } , ~ { \mathsf { a } } _ { 2 } , ~ { \ldots } , ~ { \mathsf { a } } _ { \mathsf { k } } { \mathsf { H } } _ { 0 }$ 的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）

（5分）若$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x-y+1\geqslant0\\x-2y\leqslant0\\x+2y-2\leqslant0\end{cases}$，则$z=x+y$的最大值为$\underline{\dfrac{3}{2}}$．

（5分）函数 $y = \sin x - \sqrt { 3 } \cos x$ 的图象可由函数 $y = \sin x + \sqrt { 3 } \cos x$ 的图象至少向右平移 $\frac { 2 \pi } { 3 }$ 个单位长度得到

（5分）已知f（x）为偶函数，当 $\mathbf { \boldsymbol { x } } < 0$ 时， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = \ln { \mathrm { ~ ( ~ - ~ } } { \textbf { \textsf { x } } } ) + 3 { \textbf { \textsf { x } } }$ ，则曲线 $\mathsf { v } { = } \mathsf { f }$ （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是 $2 x + y + 1 = 0$

（5分）已知直线l： $m x + y + 3 m - \sqrt { 3 } = 0$ 与圆 $\ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 2$ 交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若 $\vert A B \vert = 2 \sqrt { 3 }$ ，则 $\left| { \mathsf { C D } } \right| = \underline { { 4 } }$

（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，$AB=AD=AC=3$，$PA=BC=4$，M为线段AD上一点，$AM=2MD$，N为PC的中点

（1）证明：MN∥平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值

（12分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 2 x$ 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 $\mathsf { i } _ { 1 }$ ， $\mathsf { I } _ { 2 }$ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 $\mathsf { A R } \parallel \mathsf { F O }$

（Ⅱ）若 $\triangle \mathsf { P O F }$ 的面积是 $\triangle \mathsf { A B F }$ 的面积的两倍，求 $\mathtt { A B }$ 中点的轨迹方程

在直角坐标系 $\mathsf { x O y }$ 中，曲线 $\mathsf C _ { 1 }$ 的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \sqrt { 3 } \cos \alpha } \\ { \mathbf { y } = \sin \alpha } \end{array} \right.$ （α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ${ \sf C } _ { 2 }$ 的极坐标方程为 $\mathsf { \Gamma } \mathsf { \Gamma } \mathsf { \Gamma } \mathsf { \Gamma } \mathsf { \Gamma } ( \mathsf { \pmb { \theta } } + \frac { \pi } { \mathsf { \Delta } \mathsf { \Delta } \mathsf { \Omega } } ) \mathsf { \Omega } = 2 \sqrt { 2 } .$

（1）写出 $\mathsf C _ { 1 }$ 的普通方程和 $\mathsf { I C } _ { 2 }$ 的直角坐标方程；

②设点P在 $\mathsf C _ { 1 }$ 上，点Q在 ${ \mathsf { C } } _ { 2 } .$ 上，求 $| \mathsf { P Q } |$ 的最小值及此时P的直角坐标