2016 上海卷 数学

设 $\mathbf { \bar { x } } \in R$ ,则不等式 $\left| x - 3 \right| < 1$ 的解集为

设 $\mathrm { z } = \frac { 3 + 2 \mathrm { i } } { \mathrm { i } }$ ，其中i为虚数单位，则 $\operatorname { I m } z =$

已知平行直线 $l _ { 1 } : 2 x + y - 1 = 0 , l _ { 2 } : 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l _ { 1 }$ 与 $l _ { 2 }$ 的距离是

某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）.

已知点(3,9) 在函数 $f ( x ) = 1 + a ^ { x }$ 的图像上，则f(x)的反函数 $\left[ f ^ { - 1 } ( x ) \right] =$

如图，在正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，底面ABCD的边长为3， $B D _ { 1 }$ 与底面所成的角的大小为 $\arctan { \frac { 2 } { 3 } }$ ，则该正四棱柱的高等于

方程 $3 \sin x = 1 + \cos 2 x$ 在区间[0,2π]上的解为

在 $\left( { \sqrt [ [ 3 ] { x } } - { \frac { 2 } { x } } \right) ^ { n }$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于■•

已知 $\Delta A B C$ 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于

设 $a > 0 , b > 0 .$ 若关于x,y的方程组 $\left\{ { \begin{array} { l } { a x + y = 1 } \\ { x + b y = 1 } \end{array} } \right.$ ，无解，则 $a + b$ 的取值范围是

无穷数列 $\{ a _ { n } \} \boxplus k$ 个不同的数组成， $S _ { n }$ 为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和.若对任意 $n \in \mathrm { N } ^ { * } , S _ { n } \in \left\{ 2 , 3 \right\}$，则k的最大值为

在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-

1），P是曲线 $y = \sqrt { 1 - x ^ { 2 } }$ 上一个动点，则 $\overrightarrow { B P } \cdot \overrightarrow { B A }$ 的取值范围是

设 $a , b \in R , c \in \left[ 0 , 2 \pi \right)$ .若对任意实数x都有 $2 \sin ( 3 x - { \frac { \pi } { 3 } } ) = a \sin ( b x + c )$ ，则满足条件 的有序实数组 $\left( a , b , c \right)$ 的组数为\_

设 $a \in R$ ，则 $^ { \ast } a > 1$ ”是 $^ { } a ^ { 2 } > 1$ ”的（）.

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件

下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）.

已知无穷等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为q，前n项和为 $S _ { n }$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } S _ { n } = S$ .下列条件中，使得$2 S _ { n } < S \left( n \in \mathrm { N } ^ { * } \right)$ 恒成立的是（）.

（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6 pts

将边长为1的正方形 $A A _ { 1 } O _ { 1 } O$ （及其内部）绕的 $O O _ { 1 }$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\widehat { A C }$ 长为$\frac 2 3 \pi$ $\widehat { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 长为 $\frac { \pi } { 3 }$，其中 $B _ { 1 }$ 与C在平面 $A A _ { 1 } O _ { 1 } O$ 的同侧.

（1） 求三棱锥 $C - O _ { 1 } A _ { 1 } B _ { 1 }$ 的体积；

(2) 求异面直线 $B _ { 1 } C$ 与 $A A _ { 1 }$ 所成的角的大小.

（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域 $S _ { 1 }$ 和 $S _ { 2 }$ ，其中 $S _ { 1 }$ 中的蔬菜运到河边较近， $S _ { 2 }$ 中的蔬菜运到F点较近，而菜地内 $S _ { 1 }$ 和 $S _ { 2 }$ 的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.

（1）求菜地内的分界线C的方程;

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S _ { 1 }$ 面积是 $S _ { 2 }$ 面积的两倍，由此得到 $S _ { 1 }$ 面积的“经验值”为 $\frac { 8 } { 3 }$ .设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于 $S _ { 1 }$ 面积的经验值.

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 pts
6分.

已知 $a \in R$，函数 $f ( x ) = \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { x } + a )$

（1）当a=5时，解不等式 $f ( x ) > 0$

（2）若关于x的方程 $f ( x ) - \log _ { 2 } [ ( a - 4 ) x + 2 a - 5 ] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；

③ 设 $a > 0$，若对任意 $t \in [ \frac 1 2$ ,1]，函数f(x)在区间 $[ t , t + 1 ]$ 上的最大值与最小值的差不

超过1，求a的取值范围.