2016 北京卷 数学

（5 分）已知集合 $A = \{ x \vert 2 < x < 4 \}$ $B = \{ { \bf x } | { \bf x } < 3$ 或 $x > 5 \}$ ，则A∩B=（　　）A $\{ \times | 2 < x < 5 \}$ B $\{ \times \vert \times < 4$ 或 $x > 5 \}$ C $\{ \mathbf { \mu } _ { \mathbf { X } } | 2 < \mathbf { \mu } _ { \mathbf { X } } < 3 \}$ D． $\{ \times \vert \times < 2$ 或 $_ { \times > 5 } \}$

（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）

（5 分）下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（　　）

（5分）圆 $( x + 1 ) 2 + y ^ { 2 } = 2$ 的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）A．1 B．2 C $\sqrt { 2 }$ D $2 \sqrt { 2 }$

（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）

A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { 2 } { 5 }$ C $\frac { 8 } { 2 5 }$ D $\frac { 9 } { 2 5 }$

（5 分）已知 A（2，5），B（4，1）．若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 $2 x - y$ 的最大值为（　　）

（5 分）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>学生序号</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td><td rowspan=1 colspan=1>5</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>7</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>9</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>立定跳远(单位：米）</td><td rowspan=1 colspan=1>1.96</td><td rowspan=1 colspan=1>1.92</td><td rowspan=1 colspan=1>1.82</td><td rowspan=1 colspan=1>1.80</td><td rowspan=1 colspan=1>1.78</td><td rowspan=1 colspan=1>1.76</td><td rowspan=1 colspan=1>1.74</td><td rowspan=1 colspan=1>1.72</td><td rowspan=1 colspan=1>1.68</td><td rowspan=1 colspan=1>1.60</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>30 秒跳绳(单位：次）</td><td rowspan=1 colspan=1>63</td><td rowspan=1 colspan=1>a</td><td rowspan=1 colspan=1>75</td><td rowspan=1 colspan=1>60</td><td rowspan=1 colspan=1>63</td><td rowspan=1 colspan=1>72</td><td rowspan=1 colspan=1>70</td><td rowspan=1 colspan=1>a - 1</td><td rowspan=1 colspan=1>b</td><td rowspan=1 colspan=1>65</td></tr></table>

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和 30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛

（5分）函数 $f ( x ) = \frac { x } { x - 1 } ( x \geq 2 )$ 的最大值为　2

（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 $- \frac { 3 } { 2 } -$ -

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

（5 分）已知双曲线 $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ( { \texttt { a } } > 0 , { \texttt { b } } > 0 )$ ）的一条渐近线为 $2 x + y = 0$ 个焦点为 $( \sqrt { 5 } , \ 0 )$ ），则 $a = \_ 1 , b = \_ 2$

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\angle A = \frac { 2 \pi } { 3 } , \mathsf { a } = \sqrt { 3 } \mathsf { c }$ ，则 $\frac { b } { c } = \frac { 1 } { 1 }$

（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有　16　种；

②这三天售出的商品最少有　29　种

（13 分）已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，且 $b_2=3$，$b_3=9$，$a_1=b_1$，$a_{14}=b_4$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=a_n+b_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和．

已知函数 $f(x)=2\sin\omega x\cos\omega x+\cos2\omega x$（$\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$.
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间.

（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：

（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当$w=3$时，估计该市居民该月的人均水费

（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC

（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．