2016 天津卷 数学

（5分）（2016•天津）已知集合 $\mathbf { A } { = } \{ 1 , ~ 2 , ~ 3 \}$ $\mathrm { \bf B } { = } \{ \mathrm { { \bf y } } | \mathrm { { \bf y } } { = } 2 \mathrm { { \bf x } } - 1 , ~ \mathrm { { \bf x } } \in \mathrm { { \bf A } } \}$ ，则 $\mathbf { A } \cap \mathbf { B } = \mathbf { \Phi } \left( \mathbf { \Phi } \right.$
）

（5分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是$\frac{1}{2}$，甲获胜的概率是$\frac{1}{3}$，则甲不输的概率为（　　）

（5分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

正视图

俯视图

A

B

C

D

（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ）的焦距为 $\scriptstyle 1 2 { \sqrt { 5 } } ,$ ，且双曲
线的一条渐近线与直线 $2 \mathbf { x } ^ { + } \mathbf { y } { = } \mathbf { 0 }$ 垂直，则双曲线的方程为（　　）
A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ B $\mathbf { x } ^ { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$
C $\frac { 3 \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 0 } - \frac { 3 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 5 } = 1$ D． $\frac { 3 \mathbf { x } ^ { 2 } } { 5 } - \frac { 3 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 2 0 } = 1$

（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f $( 2 ^ { | { \bf { a } } - 1 | } ) > { \bf { f } } { \bf { \Lambda } } ( { \bf { \Lambda } } - \sqrt { 2 } )$ ，则a的取值范围是（　　）A． $( \mathbf { \nabla } - \infty , \ { \frac { 1 } { 2 } } )$ B $( \ - \ \infty , \ \frac { 1 } { 2 } ) \cup ( \frac { 3 } { 2 } , \ + \infty )$ C $( { \frac { 1 } { 2 } } , \ { \frac { 3 } { 2 } } )$ D $( { \frac { 3 } { 2 } } , \ + \infty )$

（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=$\sin^2\frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2}\sin\omega x-\frac{1}{2}$（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

（5分）（2016•天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）$z=2$，则z的实部为

（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为$\_$

（5分）（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， $\sqrt { 5 } )$ 圆C上，且圆心到直线 $2 \mathbf { x } - \mathbf { y } { = } 0$ 的距离为 $\frac { 4 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ ，则圆C的方程为

（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，$BE=2AE=2$，$B D=ED$，则线段CE的长为

（13分）（2016•天津）在$\triangle ABC$中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$a\sin2B=\sqrt{3}b\sin A$．
（1）求B；
（2）已知$\cos A=\dfrac{1}{3}$，求$\sin C$的值．

（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，E F∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1， $\scriptstyle \mathrm { A E = } { \sqrt { 6 } } ,$ ，∠BAD=60°，G为BC的中点

（1）求证：FG∥平面BED；

（2）求证：平面BED⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值