2016 天津卷 数学

（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}， $\mathrm { \bf B } { = } \{ \mathrm { { \bf y } } | \mathrm { { \bf y } } { = } 3 \mathrm { { \bf x } } - 2 , ~ \mathrm { { \bf x } } \in \mathrm { { \bf A } } \}$ ，则 $\mathbf { A } \cap \mathbf { B } = \mathbf { \Phi } \left( \mathbf { \Phi } \right.$
）

（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } - { \bf y } + 2 \mathbf { \mathcal { Z } } \mathbf { \mathcal { P } } { \bf 0 } } \\ { 2 { \bf x } + 3 { \bf y } - 6 \mathbf { \mathcal { Z } } { \bf 0 } } \\ { 3 { \bf x } + 2 { \bf y } - \mathbf { \mathcal { G } } \mathbf { \mathcal { S } } { \bf 0 } } \end{array} \right.$ ，则目标函数 $\scriptstyle \mathbf { \dot { Z } } = 2 \mathbf { X } ^ { + } 5 \mathbf { y }$
的最小值为（　　）

（5分）（2016•天津）在△ABC中，若 ${ \mathrm { A B } } { = } { \sqrt { 1 3 } } , ~ { \mathrm { B C } } { = } 3 { \mathrm { , } } ~ { \angle } { \mathrm { C } } { = } 1 2 0 { \mathrm { ^ { \circ } } }$ ，则AC=（　　）

（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

（5分）（2016•天津）设 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 是首项为正数的等比数列，公比为q，则 $" q < 0 ^ { \prime \prime }$ 是“对任意
的正整数n， $\mathrm { a } _ { 2 \mathrm { n } - 1 } + \mathrm { a } _ { 2 \mathrm { n } } { < } 0 ^ { \prime \prime }$ 的（　　）

（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 1 ( \mathbf { b } > 0 )$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）

A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 3 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ B $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 4 \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$ C $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ D $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$

（5分）（2016•天津）已知 $| \triangle \mathrm { A B C }$ 是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得 $\mathrm { D E } { = } 2 \mathrm { E F }$ ，则 $\overrightarrow { \tt A F } \cdot \overrightarrow { \tt B C }$ 的值为（　　）A． $- \frac { 5 } { 8 }$ B． $\frac { 1 } { 8 }$ C $\frac { 1 } { 4 }$ D $\textstyle { \frac { 1 1 } { 8 } }$

（5分）（2016•天津）已知函数f $\mathbf { \Sigma } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Sigma } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } ^ { 2 } + \left( 4 \bar { \mathbf { a } } - 3 \right) \mathbf { x } + 3 \bar { \mathbf { a } } , \mathbf { \Sigma } \mathbf { x } < 0 } \\ { 1 0 \mathbf { g } _ { \bar { \mathbf { a } } } ( \mathbf { x } + 1 ) + 1 , \mathbf { \Sigma } \mathbf { x } \geqslant 0 } \end{array} \right.$ （a＞0，且 $\mathsf { a } \neq 1 )$ 在R上单调递减，且关于x的方程 $| \textrm { f } ( \textbf { x } ) \ | = 2 - \textbf { x }$ 恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）A $( 0 , \ \frac { 2 } { 3 } ]$ B $[ \frac { 2 } { 3 } , \ \frac { 3 } { 4 } ]$ C $[ \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } ] \cup \{ \frac { 3 } { 4 } \}$ D $[ \frac { 1 } { 3 } , \ \frac { 2 } { 3 } ) \cup \{ \frac { 3 } { 4 } \}$

（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若 $( 1 + \mathrm { { i } ) ( 1 - \mathrm { { b i } ) = \mathrm { { a } } } }$ ，则 $\frac { a } { b }$ 的值为

（5分）（2016•天津） $( \mathbf { x } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \mathbf { x } } )$ ⁸的展开式中 $\mathbf { x } ^ { 7 }$ 的系数为
（用数字作答）

（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图
所示（单位：m），则该四棱锥的体积为$\mathrm { ~ m } ^ { 3 }$

正视图

侧视图

俯视图

（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E， ${ \mathrm { B E } } { = } 2 { \mathrm { A E } } { = } 2$ ，B $\mathrm { D } { = } \mathrm { E D }$ ，则线段CE的长为

（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } 0 )$ 上单调递增，若实数a满足f $( 2 ^ { | { \bf a } - 1 | } ) > { \bf f } { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } - \sqrt { 2 } )$ ，则a的取值范围是

（5分）（2016•天津）设抛物线 $\scriptstyle \int \tt { x } = 2 p t ^ { 2 }$ （t为参数， $\mathsf { p } { > } 0 )$ 的焦点为F，准线为l，

过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C $( { \frac { 7 } { 2 } } { \mathsf { p } } , \ 0 )$ ，AF与BC相交于点E．若 $| \mathrm { C F } | { = } 2 |$ $\mathrm { A F } |$ ，且△ACE的面积为 $3 \sqrt { 2 } \mathrm { { ; } }$ ，则p的值为

三、计算题

（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会

①设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

②设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望

（13分）（2016•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2

（1）求证：EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

③设H为线段AF上的点，且 $\mathrm { A H } { = } \frac { 2 } { 3 }$ HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值